Bruk http: //.org/questions/in-1-6-1-6666-repeating-6-is-called-repeatend-or-reptend-i-learn-from-https-en-w, hvordan designer du et sett med rasjonelle tall {x} som har reptend med millioner siffer?

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

La oss gå et skritt videre, og utform et sett som inneholder hver rasjonelt tall med en gjentakelse med #10^6# sifre.

Advarsel: Følgende er svært generalisert og inneholder noen atypiske konstruksjoner. Det kan være forvirrende for studenter ikke helt komfortabel med å bygge sett.

Først vil vi konstruere settet av våre repetender av lengde #10^6#. Mens vi kan starte med settet #{1, 2, …, 10^(10^6+1)-1}# som inneholder mest naturlige tall #10^6# sifre, vi ville støte på et problem. Noen av disse gjentakelsene kan for eksempel bli representert med mindre strenger # 0.bar (111 … 1) = 0.bar (1) #, eller # 0.bar (121212 … 12) = 0.bar (12) #. For å unngå dette, definerer vi først et nytt begrep.

Tenk på et heltall #a i 1, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1 #. La # A_1a_2 … a_ (10 ^ 6) # vær a #10^6# sifferrepresentasjon av det heltallet, muligens med ledende #0#s hvis #en# har færre enn #10^6# sifre. Vi ringer #en# nyttig hvis for hver ordentlig divisor # M # av #10^6#, #en# er ikke av skjemaet # a_1a_2 … a_ma_1a_2 … a_m "" … "" a_1a_2 … a_m #

Nå kan vi gjøre vårt sett med gjentakelser.

La #A = {a i {1, 2, …, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1}: en "er nyttig"} #

Deretter skal vi konstruere vårt sett med potensielle ikke-reiterende første desimaltall. Husk at dette også kan ha ledende #0#s, eller består helt av #0#s, vi vil representere våre tall som tuples av skjemaet # (k, b) #, hvor # K # vil representere lengden på strengen av sifre, og # B # vil representere sin verdi når evaluert som et heltall. For eksempel tallene #00032# ville parre med tuplen #(5, 32)#.

La #B = (NNuu {0}) xx (NNuu {0}) #

Til slutt, la oss legge til heltalldelen til blandingen. Vær oppmerksom på at i motsetning til fraksjonelle deler, vil vi tegne skilt her og bruke # ZZ # i stedet for # NN #.

La #C = A xx B xx ZZ #. Det er, # C # er settet av #3#-tuples # (a, (k, b), c) # slik at, #en# er et nyttig heltall med høyest mulig #10^6# sifre, # (k, b) # representerer a # K #-digit streng av siffer hvis integral verdi er # B #, og # C # er et heltall.

Nå som vi har sett omfatter alt mulig #a, b, c # streng med de ønskede egenskapene, vil vi sette dem sammen ved hjelp av skjemaet som er konstruert i det refererte spørsmålet.

#S: = {((10 ^ kc + b) (10 ^ (10 ^ 6) -1) + a) / (10 ^ k (10 ^ (10 ^ 6) -1), b), c) i C} #

Deretter #S delmengde QQ # er settet av rasjonelle tall med #10^6# sifferrepetisjoner.

Takket være Sente er teorien i sitt svar.

For en delmengde av svaret

# {x} = {I + M + (d_ (msd) ddd … dddd_ (lsd)) / (9999 … 9999)} #, #I i N # og M en ordentlig brøkdel av skjemaet m-siffer

heltall /# 10 ^ m #, #d_ (MSD) # er ikke-null mest signifikant siffer. lsd

betyr minst signifikant siffer..

forklaring:

La I = 2, M =.209 / 1000 =.209, #d_ (lsd) = 7 og d_ (msd) = 3 #. I-

mellom d's er alle 0..

Deretter.

#x = 2.209+ (7000 … 0003) / (9999 … 9999) #

# = 2.209 7000 … 0003 7000 … 0003 7000 … 0003 … ad infinitum.

Merk divisjonen av #10^100001-1=9999…9999#.

Både teller og nevner har samme antall sd.

Sans msd d, d's kan være noe #in {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} #.