Spørsmål # ba262

Svar:

Beviset er litt langt, men håndterbart. Se nedenfor.

Forklaring:

Når du prøver å bevise trigidentiteter som involverer fraksjoner, er det alltid en god idé å legge til fraksjonene først:

# Sint / (1-cost) + (1 + kostnads) / Sint = (2 (1 + kostnads)) / Sint #

# -> Sint / (1-cost) sint / Sint + (1 + kostnads) / Sint (1-cost) / (1-kostnad) = (2 (1 + kostnads)) / Sint #

# -> sin ^ 2t / ((1-cost) (Sint)) + ((1 + kostnads) (1-cost)) / ((1-cost) (Sint)) = (2 (1 + kostnads)) / sint #

# -> (sin ^ 2t + (1 + kostnads) (1-cost)) / ((1-cost) (Sint)) = (2 (1 + kostnads)) / Sint #

Uttrykket # (1 + kost) (1-cost) # er faktisk en forskjell på firkanter i forkledning:

# (A + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Med # A = 1 # og # B = kostnaden #. Det vurderer til # (1) ^ 2- (kostnaden) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

Vi kan gå enda lenger med # 1-cos ^ 2t #. Husk den grunnleggende pythagoranske identiteten:

# Cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

subtraksjon # cos ^ 2x # fra begge sider ser vi:

# Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Siden # X # er bare en plassholder variabel, kan vi si det # Sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. derfor # (1 + kost) (1-cost) # blir # Sin ^ 2t #:

# (Sin ^ 2t + sin ^ 2t) / ((1-cost) (Sint)) = (2 (1 + kostnads)) / Sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((1-cost) (Sint)) = (2 (1 + kostnads)) / Sint #

Legg merke til at sines avbryter:

# (2cancel (sin ^ 2t) ^ Sint) / ((1-cost) avbryt ((Sint))) = (2 (1 + kostnads)) / Sint #

# -> (2sint) / (1-kostnad) = (2 (1 + kostnads)) / Sint #

Vi er nesten ferdige. Det siste trinnet er å multiplisere venstre side av konjugatet av # 1-cost # (som er # 1 + kostnads #), for å dra nytte av forskjellen på kvadrater eiendom:

# (2sint) / (1-kost) (1 + kostnads) / (1 + kostnad) = (2 (1 + kostnads)) / Sint #

# -> (2sint (1 + kostnads)) / ((1-kost) (1 + kostnads)) = (2 (1 + kostnads)) / Sint #

Igjen kan vi se det # (1-pris) (1 + kost) # er en forskjell på firkanter, med # A = 1 # og # B = kostnaden #. Det vurderer til # (1) ^ 2- (kostnaden) ^ 2 #, eller # 1-cos ^ 2t #. Vi viste det allerede # Sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #, så nevneren blir erstattet:

# (2sint (1 + kostnads)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + kostnads)) / Sint #

Sines kansellerer:

# (2cancel (Sint) (1 + kostnads)) / (avbryt (sin ^ 2t) ^ Sint) = (2 (1 + kostnads)) / Sint #

Og voila, bevis fullført:

# (2 (1 + kostnads)) / Sint = (2 (1 + kostnads)) / Sint #

Svar:

La meg prøve

Forklaring:

# LHS = Sint / (1-cost) + (1 + kostnads) / Sint #

Inspisere RHS vi tar felles# (1 + kost) / sint #

Så

# LHS = (1 + kostnads) / Sint (Sint / (1 + kostnads) * Sint / (1-cost) 1) #

# = (1 + kostnads) / Sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) 1) #

# = (1 + kost) / sint (sin ^ 2t / sin ^ 2t + 1) #

# = (1 + kostnads) / Sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + kostnads)) / Sint = RHS #

Påviste