Hva er spekteret av en matrise? + Eksempel

Svar:

Se nedenfor

Forklaring:

Et sett med vektorer spenner over en plass hvis hver annen vektor i rommet kan skrives som en lineær kombinasjon av spanningssettet. Men for å komme til meningen med dette må vi se på matrisen som laget av kolonnevektorer.

Her er et eksempel i #mathcal R ^ 2 #:

La matrisen vår #M = ((1,2), (3,5)) #

Dette har kolonnevektorer: #((1),(3))# og #((2),(5))#, som er lineært uavhengig, så matrisen er ikke-singulær dvs. inverterbar etc etc.

La oss si at vi vil vise det generelle punktet # (X, y) # er innenfor spekteret av disse 2 vektorer, dvs. slik at matrisen spenner over alle #mathcal R ^ 2 #, så ser vi ut til å løse dette:

#alpha ((1), (3)) + beta ((2), (5)) = ((x), (y)) #

Eller:

# ((1,2), (3,5)) ((alpha), (beta)) = ((x), (y)) #

Du kan løse dette er et hvilket som helst antall måter, for eksempel rad redusere eller invertere M ….. å få:

#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y #

Så la oss si at vi vil sjekke det #(2,3)# er i spekteret av denne matrisen, M, søker vi resultatet vi nettopp har fått:

#alpha = -4 #

#beta = 3 #

Dobbel sjekk:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Tenk på neste en annen matrise: #M '= ((1,2), (2,4)) #. Dette er entall fordi dens kolonnevektorer, #((1),(2))# og #((2),(4))#, er lineært avhengig. Denne matrisen spenner bare langs retning #((1),(2))#.