Vennligst hjelp. Jeg er ikke sikker på hvordan du gjør dette raskt uten å multiplisere alt ut?

Svar:

Svaret til (Jeg) er #240#.

Svaret til (Ii) er #200#.

Forklaring:

Vi kan gjøre dette ved å bruke Pascals triangel, vist nedenfor.

(Jeg)

Siden eksponenten er #6#, vi må bruke den sjette rad i trekanten, som inkluderer #color (lilla) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # og #COLOR (lilla) 1 #. I utgangspunktet vil vi bruke #COLOR (blå) 1 # som første sikt og #COLOR (red) (2x) # som den andre. Deretter kan vi lage følgende ligning. Eksponenten til første sikt øker med #1# hver gang og eksponenten til andre sikt reduseres med #1# med hvert uttrykk fra trekanten.

# (Farge (lilla) 1 * farge (blå) (1 ^ 0) * farge (rød) ((2x) ^ 6)) + (farge (lilla) 6 * farge (blå) (1 ^ 1) * farge (red) ((2x) ^ 5)) + (farge (fiolett) 15 * farge (blå) (1 ^ 2) * farger (rød) ((2x) ^ 4)) + (farge (fiolett) 20 * farge (blå) (1 ^ 3) * farger (rød) ((2x) ^ 3)) + (farge (fiolett) 15 * farge (blå) (1 ^ 4) * farger (rød) ((2x) ^ 2)) + (farge (purpur) 6 * farge (blå) (1 ^ 5) * farger (rød) ((2x) ^ 1)) + (farge (purpur) 1 * farge (blå) (1 ^ 6) * farge (red) ((2x) ^ 0)) #

Da kan vi forenkle det.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160X ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Derfor koeffisienten av # X ^ 4 # er #240#.

(Ii)

Vi vet allerede utvidelsen av # (1 + 2x) ^ 6 #. Nå kan vi formere de to uttrykkene sammen.

#COLOR (brun) (1-x (1/4)) * farge (orange) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160X ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

Koeffisienten til # X # i # 1-x (1/4) # er #1#. Så, vi vet at det vil øke eksponenternes verdier i det andre uttrykket av #1#. Fordi vi trenger koeffisienten til # X ^ 4 #, vi trenger bare å formere seg # 160X ^ 3 # av # 1-x (1/4) #.

# 160X ^ 3-40x ^ 4 #

Nå må vi legge til det # 240x ^ 4 #. Dette er en del av løsningen av # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, på grunn av multiplikasjonen ved #1#. Det er betydelig fordi det også har en eksponent for #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Derfor er koeffisienten #200#.

Svar:

Jeg. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Forklaring:

Den binomiale ekspansjonen for # (A + bx) ^ c # kan bli representert som:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

For del 1 trenger vi bare når # N = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

For del 2 trenger vi også # X ^ 3 # sikt på grunn av # X / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160X ^ 3 #

# 160X ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #