Hvorfor eksisterer faktorialer ikke for negative tall?

Svar:

Det ville være en motsetning med sin funksjon hvis den eksisterte.

Forklaring:

En av de viktigste praktiske bruken av faktorial er å gi deg antall måter å permute gjenstander. Du kan ikke permute #-2# objekter fordi du ikke kan ha mindre enn #0# stedene!

Svar:

Det avhenger av hva du mener …

Forklaring:

Faktorier er definert for hele tall som følger:

#0! = 1#

# (N + 1)! = (n + 1) n! #

Dette lar oss definere hva vi mener med "Factorial" for et ikke-negativt heltall.

Hvordan kan denne definisjonen bli utvidet til å dekke andre tall?

Gamma-funksjon

Er det en kontinuerlig funksjon som gjør at vi kan "bli med i punktene" og definere "Factorial" for et ikke-negativt Real-nummer?

Ja.

#Gamma (t) = int_0 ^ oo x ^ (t-1) e ^ (- x) dx #

Integrasjon av deler viser at #Gamma (t + 1) = t Gamma (t) #

For positive heltall # N # Vi finner #Gamma (n) = (n-1)! #

Vi kan utvide definisjonen av #Gamma (t) # til negative tall ved hjelp av #Gamma (t) = (Gamma (t + 1)) / t #, bortsett fra tilfellet #t = 0 #.

Dessverre betyr dette at #Gamma (t) # er ikke definert når # T # er null eller negativt heltall. De # Gamma # funksjonen har en enkel pol på #0# og negative heltall.

Andre muligheter

Er det noen andre utvidelser av "Factorial" som har verdier for negative heltall?

Ja.

Det romerske fakultetet er definert som følger:

#stackrel () (| __n ~ |!!) = {(n !, hvis n> = 0), ((-1) ^ (- n-1) / ((- n-1)!), hvis n < 0):} #

Dette er oppkalt etter en matematiker S. Roman, ikke romerne, og brukes til å gi en praktisk notasjon for koeffisientene til den harmoniske logaritmen.