La oss starte med funksjonen uten # M #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Denne funksjonen har sikkert # X = 0 # som rot, siden vi anså # X #.
De andre røttene er løsninger av # X ^ 2-2x + 2 = 0 #, men denne parabolen har ingen røtter. Dette betyr at det opprinnelige polynomet har bare en rot.
Nå, et polynom #P (x) # av ulik grad har alltid minst én løsning, fordi du har
#lim_ {x til- Infty} p (x) = - Infty # og #lim_ {x til Infty} p (x) = Infty #
og #P (x) # er kontinuerlig, så det må krysse # X # akse på et tidspunkt.
Svaret kommer fra følgende to resultater:
- Et polynom av grad # N # har akkurat det # N # komplekse røtter, men på det meste # N # ekte røtter
- Gitt grafen til #f (x) #, grafen til #f (x) + k # har samme form, men det er vertikalt oversatt (oppover hvis #k> 0 #, nedover ellers).
Så starter vi fra # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, som bare har en ekte røtter (og dermed to komplekse røtter) og vi forvandler den til # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, noe som betyr at vi oversetter det opp eller ned, slik at vi ikke endrer antall løsninger.
Noen eksempler:
Opprinnelig funksjon: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Oversett opp: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Oversett ned: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Som du ser, er det alltid en rot
Svar:
Se nedenfor
Forklaring:
En alternativ, kanskje mer elegant løsning:
derivatet av polynomet er # 3x ^ 2-4x + 2 #, som er en parabola konkav opp uten røtter, og dermed alltid positiv. Så, # F # er:
- Monotont økende
- #lim_ {x til pm Infty} f (x) = pm Infty #
- # "Deg" (f) = 3 #
De to første punktene viser det # F # har akkurat en rot, og den tredje at de to andre røttene er komplekse.
