Spørsmål # c7520

Svar:

Bruk dobbeltvinkelen for sinus og enhetssirkelen for å finne løsninger på # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, og # (3n) / 2 #.

Forklaring:

Først bruker vi den viktige identiteten # Sin2theta = 2sinthetacostheta #:

# Sin2theta-costheta = 0 #

# -> 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

Nå kan vi faktorere ut # Costheta #:

# 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

# -> costheta (2sintheta-1) = 0 #

Og ved å bruke nullproduktegenskapen får vi løsninger av:

# costheta = 0 "og" 2sintheta-1 = 0-> sintheta = 1/2 #

Så, når gjør # Costheta = 0 # på intervallet # -Pi / 2 <= theta <= (3n) / 2 #? Løsningene kan bli funnet ved hjelp av enhetssirkelen og en egenskap av cosinusfunksjonen:

#cos (-theta) = costheta #

Hvis # Theta = pi / 2 #, deretter:

#cos (-pi / 2) = cos (pi / 2) #

Fra enhetssirkelen vet vi det #cos (pi / 2) = 0 #, som også betyr #cos (-pi / 2) = 0 #; så to løsninger er # -Pi / 2 # og # Pi / 2 #. Enhetssirkelen forteller oss også det #cos ((3n) / 2) = 0 #, så vi har en annen løsning der.

Nå inn på # Sintheta = 1/2 #. Igjen, vi trenger enhetssirkelen for å finne våre løsninger.

Vi vet fra enhetssirkelen det #sin (pi / 6) = 1/2 #, og #sin ((5pi) / 6) = 1/2 #, så legger vi til # Pi / 6 # og # (5pi) / 6 # til listen over løsninger.

Til slutt legger vi alle våre løsninger sammen: # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, og # (3n) / 2 #.

Enhetssirkelen