Svar:
Den bestemte integral er # 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #.
Forklaring:
Det er alltid flere måter å nærme seg integrasjonsproblemer, men det er slik jeg løst denne:
Vi vet at ligningen for vår sirkel er:
# x ^ 2 + y ^ 2 = 25 #
Dette betyr at for noen # X # verdi vi kan bestemme de to # Y # verdier over og under det punktet på x-aksen ved å bruke:
# y ^ 2 = 25 - x ^ 2 #
#y = sqrt (25-x ^ 2) #
Hvis vi forestiller oss at en linje trukket fra toppen av sirkelen til bunnen med konstant # X # verdi til enhver tid, vil den ha en lengde på to ganger # Y # verdi gitt av ligningen ovenfor.
# r = 2sqrt (25 - x ^ 2) #
Siden vi er interessert i området mellom linjen #x = 3 # og slutten av sirkelen på #x = 5 #, de vil være våre integrerte grenser. Fra det tidspunktet er det enkelt å skrive det bestemte integralet:
#A = int_3 ^ 5rdx = 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #
Svar:
Som et alternativ, i polar
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
Forklaring:
du kan også gjøre det i polar
sirkelen i polar er r = 5 og bruker den enkleste formuleringen av området #A = 1/2 int r ^ 2 (psi) d psi # blir, ved hjelp av symmetrien om x-aksen
#A = 2 ganger (1/2 int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} 5 ^ 2 d psi - farge {rød} {1/2 * 3 * 4}) #
hvor den røde biten er som vist skygget i rødt på tegningen
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
# = 25 psi _ {0} ^ {arcsin (4/5)} - 12 #
# = 25 arcsin (4/5) - 12 #
