En forskningsassistent laget 160 mg radioaktivt natrium (Na ^ 24) og fant at det var bare 20 mg igjen 45 timer senere, hvor mye av den opprinnelige 20 mg ville bli igjen på 12 timer?

Svar:

#=11.49# mg vil bli igjen

Forklaring:

La hastigheten av forfall være # X # per time

Så vi kan skrive

# 160 (x) ^ 45 = 20 #

eller

# X ^ 45 = 20/160 #

eller

# X ^ 45 = 1/8: #

eller

# X = root45 (1/8) #

eller

# X = 0,955 #

Likeledes etter #12# timer

#20(0.955)^12#

#=20(0.57)#

#=11.49# mg vil bli igjen

Svar:

Bare for å bruke den konvensjonelle radioaktive forfallsmodellen som en liten alternativ metode.

Etter 12 timer har vi 11,49mg

Forklaring:

La #Q (t) # betegne mengden natrium tilstede i tid # T #. På # t = 0, Q = Q_0 #

Det er en ganske enkel modell å løse med ODEs, men som det ikke egentlig er relatert til spørsmålet, slutter vi med

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) # hvor # K # er en hastighetskonstant.

Først finner vi verdien av # K #

# Q_0 = 160mg, Q (45) = 20mg #

#Q (45) = 20 = 160e ^ (- 45k) #

#therefore 1/8 = e ^ (- 45k) #

Ta naturlige logger på begge sider:

#ln (1/8) = -ln (8) = -45k #

# k = (ln (8)) / 45 hr ^ (- 1) #

#forefore Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (8)) / 45t) #

Så starter med # Q_0 = 20mg #

# Q (12) = 20e ^ (- (ln (8)) / 45 * 12) = 11,49mg #