Hva er den lokale ekstreme, om noen, av f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Svar:

Parabolae har nøyaktig en ekstrem, toppunktet.

Det er #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Siden # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # Overalt er funksjonen konkave overalt og dette punktet må være et minimum.

Forklaring:

Du har to røtter for å finne parabolens toppunkt: en, bruk kalkulator for å finne hvor derivatet er null; to, unngå kalkulasjon til enhver pris og bare fullføre torget. Vi skal bruke kalkulator for øvelsen.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, vi må ta avledet av dette.

# {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Av lineariteten av derivatet vi har

# {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Ved hjelp av kraftregelen, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # vi har

# {df (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Vi stiller dette til null for å finne de kritiske punktene, de lokale og globale minima og maksima og noen ganger bøyningspunkter har derivater av null.

# 0 = 2x + 9 # #=># # X = -9/2 #,

så vi har et kritisk poeng på # X = -9/2 # eller #-4 1/2#.

For å finne y-koordinatet til det kritiske punktet vi deltar i # X = -9/2 # tilbake i funksjonen, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Det kritiske punktet / toppunktet er #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Vi vet det fordi #A> 0 #, dette er et maksimum.

For å formelt finne om det er en maksima eller minima må vi gjøre den andre avledede testen.

# {d ^ 2f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Det andre derivatet er 2 ved alle verdier av x. Dette betyr at det er større enn null overalt, og funksjonen er konkav opp overalt (det er en parabol med #A> 0 # tross alt), så ekstrem må være et minimum, toppunktet.