Hvorfor fullfører torget nytte? + Eksempel

Svar:

Forenkle kvadratiske uttrykk slik at de blir løsbare med firkantede røtter.

Forklaring:

Å fullføre torget er et eksempel på en Tschirnhaus-transformasjon - bruk av en substitusjon (om enn implisitt) for å redusere en polynomekvasjon til enklere form.

Så gitt:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # med #a! = 0 #

vi kunne skrive:

# 0 = 4a (økse ^ 2 + bx + c) #

#color (hvit) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (hvit) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (hvit) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (hvit) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (hvit) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Derfor:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Så:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Så å ha startet med en kvadratisk ligning i form:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Vi fikk det inn i et skjema # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # med #t = (2ax + b) # og # K = sqrt (b ^ 2-4ac) #, eliminere den lineære termen, og etterlater bare kvadratiske termer.

Så lenge vi er glade for å beregne kvadratrøtter, kan vi nå løse en kvadratisk ligning.

Å fullføre torget er også nyttig for å få ligningen til en sirkel, ellipse eller annen konisk del i standardform.

For eksempel gitt:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

fullfører torget finner vi:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

slik at vi kan identifisere denne ligningen som en sirkel med senter #(2, -3)# og radius #5#.