Svar:
Diskriminanten # Delta # av # m ^ 2 + m + 1 = 0 # er #-3#.
Så # m ^ 2 + m + 1 = 0 # har ingen reelle løsninger. Den har et konjugert par komplekse løsninger.
Forklaring:
# m ^ 2 + m + 1 = 0 # er av formen # am ^ 2 + bm + c = 0 #, med # A = 1 #, # B = 1 #, # C = 1 #.
Dette har diskriminerende # Delta # gitt av formelen:
#Delta = b ^ 2-4ac = 1 ^ 2 - (4xx1xx1) = -3 #
Vi kan konkludere med det # m ^ 2 + m + 1 = 0 # har ingen reelle røtter.
Røttene til # m ^ 2 + m + 1 = 0 # er gitt av kvadratisk formel:
#m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) #
Legg merke til at diskriminanten er delen inne i kvadratroten. Så hvis #Delta> 0 # så den kvadratiske ligningen har to forskjellige virkelige røtter. Hvis # Del = 0 # da har den en gjentatt ekte rot. Hvis # Delte <0 # da har den et par tydelige komplekse røtter.
I vårt tilfelle:
#m = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) = (-1 + -sqrt (-3)) / 2 = (-1 + -i sqrt (3)) / 2 #
Nummeret # (- 1 + i sqrt (3)) / 2 # er ofte betegnet av det greske brevet # Omega #.
Det er den primitive terningen rot av #1# og er viktig når man finner alle røtter av en generell kubisk ligning.
Legg merke til det # (m-1) (m ^ 2 + m + 1) = m ^ 3 - 1 #
Så # omega ^ 3 = 1 #
Svar:
Diskriminanten av # (M ^ 2 + m + 1 = 0) # er #(-3)# som forteller oss at det ikke finnes noen virkelige løsninger på ligningen (en graf av ligningen går ikke over m-aksen).
Forklaring:
Gitt en kvadratisk ligning (ved bruk av # M # som variabel) i skjemaet:
#COLOR (hvit) ("XXXX") ## am ^ 2 + bm + c = 0 #
Løsningen (i form av # M #) er gitt av kvadratisk formel:
#COLOR (hvit) ("XXXX") ##m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #
De diskriminant er delen:
#COLOR (hvit) ("XXXX") ## B ^ 2-4ac #
Hvis diskriminant er negativ
#COLOR (hvit) ("XXXX") #det kan være ingen reelle løsninger
#COLOR (hvit) ("XXXX") #(siden det ikke er noen reell verdi som er kvadratroten til et negativt tall).
For gitt eksempel
#COLOR (hvit) ("XXXX") ## m ^ 2 + m + 1 = 0 #
diskriminanten, # Delta # er
#COLOR (hvit) ("XXXX") ##(1)^2 - 4(1)(1) = -3#
og derfor
#COLOR (hvit) ("XXXX") #Det er ingen reelle løsninger på denne kvadratiske.
