Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Beregn forventningsverdien på et senere tidspunkt t = t_1 er phi_n energiegenskaper av den uendelige potensielle brønnen. Skriv svaret i form av E_0?

Vel, jeg får det # 14 / 5E_1 #… og gitt ditt valgte system, kan det ikke bli uttrykt i form av # E_0 #.

Det er så mange kvantemekanikkregler som er brutt i dette spørsmålet …

De # Phi_0 #, siden vi bruker uendelige potensielle brønnløsninger, forsvinner automatisk … #n = 0 #, så #sin (0) = 0 #.

Og for kontekst hadde vi latt #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

Det er umulig å skrive svaret i form av # E_0 # fordi #n = 0 # finnes IKKE for den uendelige potensielle brønnen. Med mindre du vil at partikkelen skal forsvinne , Jeg må skrive det i form av # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…
Energien er en konstant av bevegelsen, dvs. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Så nå…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L)

Forventningsverdien er en konstant av bevegelsen, så vi bryr oss ikke hvilken tid # T_1 # vi velger. Ellers er dette ikke et konservativt system …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # for noen #n = 1, 2, 3,… #

Faktisk vet vi allerede hva det burde være, siden Hamiltonian for den endimensjonale uendelige potensielle brønnen er tid-uavhengig …

#hatH =-^ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

og # (E ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # gå til 1 i integralet:

#color (blå) (<< E >>) = (1/3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

hvor vi har latt #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Igjen avbryter alle fasefaktorene ut, og vi merker at de off-diagonale termer går til null på grunn av ortogonaliteten til # Phi_n #.

Nevneren er normen til # Psi #, som er

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Derfor, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Det gir:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) avbryt (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2 ^) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) avbryt (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) avbryte (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) synd ((2pix) / L) avbryt (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) Antall

Påfør derivatene:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ^ ^ 2 / (2m) cdot pi2 / L ^ 2 synd pix) / L) dx + 1/2 (2 / l) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Konstanter flyter ut:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

Og dette integralet er kjent for fysiske grunner til å være halvveis mellom #0# og # L #, uavhengig av # N #:

(2 / L ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = farge (blå) (14/5 E_1) #

Svar:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Forklaring:

Hver stasjonær tilstand som tilsvarer energi egenverdien # E_n # plukker opp en fasefaktor #e ^ {- iE_n t} # på tid evolusjon. Gitt tilstand er ikke en stasjonær stat - siden det er superposisjonen av energiegenskaper som tilhører forskjellige egenverdier. Som et resultat vil det utvikle seg i tid på en ikke-trivial måte. Imidlertid er Schroedinger-ligningen som styrer tidenes evolusjon av stater lineær - slik at hver komponentenergiefunksjon utvikler seg selvstendig - plukker opp sin egen fasefaktor.

Så, startbølgefunksjonen

# xi (1/3) phi_1

utvikler seg i tide # T # til

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Dermed er energiforventningen verdsatt til tiden # T # er gitt av

(X, t) hat {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏt} + sqrt phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) ganger (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏt} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

hvor vi har brukt det faktum at #phi_i (x) # er energi egenfunksjoner, slik at #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Dette gir oss fortsatt ni vilkår. Den endelige beregningen forenkles imidlertid mye av det faktum at energienes egenfunksjon er ortho-normalisert, dvs. de adlyder

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Dette betyr at av de ni integralene, overlever bare tre, og vi får

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Bruk standardresultatet som #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, vi har # E_1 = 4E_0 # og # E_2 = 9E_0 # for en uendelig potensiell brønn (du kan være mer vant til et uttrykk som sier #E_n propto n ^ 2 # for en uendelig brønn - men i disse er bakken tilstand merket # E_1 # - her merker vi det # E_0 # - dermed endringen). Og dermed

# <E> = (1/6 ganger 1 + 1/3 ganger 4 + 1/2 ganger 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Merk:

Mens individuelle energiegenskaper utvikler seg i tide ved å plukke opp en fasefaktor, vil den generelle bølgefunksjonen gjør ikke avvike fra den første ved bare en fasefaktor - derfor er det ikke lenger en stasjonær tilstand.
Integrellene involvert var like

# xi_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i / infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

og disse ser ut som om de er tidsavhengige. Imidlertid er de eneste integralene som overlever de for # I = j # - og det er nettopp de som tidsavhengigheten avbryter.
De siste resultatene passer med det faktum at #hat {H} # er bevart - selv om staten ikke er en stasjonær stat - er energiforventningsverdien uavhengig av tid.
Den opprinnelige bølgefunksjonen er allerede normalisert siden # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # og denne normaliseringen er bevart i tidevolusjonen.
Vi kunne ha kuttet ned mye arbeid hvis vi hadde brukt et standard kvantemekanisk resultat - hvis en bølgefunksjon utvides i skjemaet #psi = sum_n c_n phi_n # hvor i # Phi_n # er egenfunksjoner av en hermitisk operatør #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, deretter # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, forutsatt selvfølgelig at statene er ordentlig normalisert.