Svar:
Se forklaring …
Forklaring:
La #t = a_ (cf) (x; b) #
Deretter:
(x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x) + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #
Med andre ord, # T # er et fast punkt i kartleggingen:
#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #
Merk at i seg selv, # T # være et fast punkt på #F (t) # er ikke tilstrekkelig til å bevise det #t = a_ (cf) (x; b) #. Det kan være ustabile og stabile faste punkter.
For eksempel, #2016^(1/2016)# er et fast punkt på #x -> x ^ x #, men er ikke en løsning av # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Det er ingen løsning).
Men la oss vurdere #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1.0 # og #t = 1.880789470 #
Deretter:
#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #
# ~~ e ^ (0,1 + 0,5316916199) #
# = E ^,6316916199 #
# ~ ~ 1.880789471 ~~ t #
Så denne verdien av # T # er svært nær et fast punkt på #F_ (a, b, x) #
For å bevise at det er stabilt, vurder derivatet nær # T #.
# d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s)
Så finner vi:
(T, 1, 1, t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0,5316916199 #
Siden dette er negativt og av absolutt verdi mindre enn #1#, det faste punktet på # T # er stabil.
Legg også merke til at for en hvilken som helst null verdi av # S # vi har:
#F '_ (e, 1,0,1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #
Det er #F_ (e, 1,0.1) (s) # er strengt monotonisk redusert.
derav # T # er det unike stabile fastpunktet.
Svar:
Kontraktsadferd.
Forklaring:
Med #a = e # og #x = x_0 # iterasjonen følger som
#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # og også
#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #
La oss undersøke vilkårene for en sammentrekning i iterasjonsoperatøren.
Undergrave begge sider
#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}})
men i første tilnærming
# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) {k-1}) + 0 ((y_ {k-1}) ^ 2) #
eller
# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} ca. -b (e ^ {b / y_ {k-1}} / y_k-y_ {k-1}) #
Å ha en sammentrekning vi trenger
#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #
Dette oppnås hvis
#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Enn #b> 0 # og # k = 1 # vi har.
# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #
Så gitt # X_0 # og # B # dette forholdet tillater oss å finne den første iterasjonen under kontraktiv oppførsel.
