Hva er ekstremiteten av f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 på [-oo, oo]?

Svar:

#f (x) # har et minimum på # X = 2 #

Forklaring:

Før du fortsetter, merk at dette er en oppadgående parabola, noe som betyr at vi kan vite uten ytterligere beregning at det ikke vil ha noen maksima og et enkelt minimum på toppunktet. Å fullføre torget vil vise oss det #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, gir toppunktet, og dermed det eneste minimumet, på #x = 2 #. La oss se hvordan dette ville bli gjort med kalkulator, skjønt.

Enhver ekstremitet vil oppstå enten ved et kritisk punkt eller ved et sluttpunkt av det angitte intervallet. Som vårt gitt intervall på # (- oo, oo) # er åpen, kan vi ignorere muligheten for endepunkter, og så vil vi først identifisere de kritiske punktene til funksjonen, det vil si det punktet der derivatet av funksjonen er #0# eller eksisterer ikke.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Setter dette lik til #0#, finner vi et kritisk punkt på # X = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Nå kan vi enten teste for å se om det er ekstremum (og hvilken type) ved å sjekke noen verdier av # F # rundt det punktet, eller ved å bruke den andre avledede testen. La oss bruke sistnevnte.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Som #f '' (2) = 6> 0 #, den andre avledetesten forteller oss det #f (x) # har et lokalt minimum på # X = 2 #

Dermed bruk av #f '(x) # og #f '' (x) #, finner vi det #f (x) # har et minimum på # X = 2 #, som matcher resultatet vi fant med algebra.