Spørsmål # f3eb0

Svar:

#c = 2/3 #

Forklaring:

Til #f (x) # å være kontinuerlig på #x = 2 #, må følgende være sant:

• #lim_ (x-> 2) f (x) # eksisterer.
• #f (2) # eksisterer (dette er ikke et problem her siden #f (x) # er klart definert på #x = 2 #

La oss undersøke det første postulatet. Vi vet at for en grense å eksistere, venstre og høyre grenser må være like. matematisk:

#lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) #

Dette viser også hvorfor vi bare er interessert i #x = 2 #: Det er den eneste verdien av # X # for hvilken denne funksjonen er definert som forskjellige ting til høyre og venstre, noe som betyr at det er en sjanse for at venstre og høyre håndgrenser kanskje ikke er like.

Vi forsøker å finne verdier av "c" som disse grensene er like.

Når vi går tilbake til stykkvis funksjonen, ser vi det til venstre for #2#, #f (x) = cx ^ 2 + 2x #. Alternativt til høyre for #x = 2 #, vi ser det #f (x) = x ^ 3-cx #

Så:

#lim_ (x-> 2) cx ^ 2 + 2x = lim_ (x-> 2) x ^ 3 - cx #

Evaluering av grensene:

# (2) ^ 2c + 2 (2) = (2) ^ 3 - (2) c #

# => 4c + 4 = 8 - 2c #

Herfra er det bare et spørsmål om å løse for # C #:

# 6c = 4 #

#c = 2/3 #

Hva har vi funnet? Vel, vi har funnet ut en verdi for # C # som vil gjøre denne funksjonen kontinuerlig overalt. Enhver annen verdi av # C # og høyre og venstre håndgrenser vil ikke være lik hverandre, og funksjonen vil ikke være kontinuerlig overalt.

For å få en visuell ide om hvordan dette virker, sjekk ut denne interaktive grafen jeg laget. Velg forskjellige verdier av # C #, og se hvordan funksjonen slutter å være kontinuerlig på #x = 2 #!

Håper det hjalp:)