Hva er avstanden mellom (0, 0, 8) og (9, 2, 0)?

Svar:

Avstanden er #sqrt (149) #

Forklaring:

Avstanden mellom to punkter

# (x_1, y_1, z_1) #

og

# (x_2, y_2, z_2) #

i # RR ^ 3 # (tre dimensjoner) er gitt av

# "avstand" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Ved å bruke det til problemet ved hånden, får vi avstanden mellom #(0, 0, 8)# og #(9, 2, 0)# som

# "avstand" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Det følgende er en forklaring på hvor avstandsformelen kommer fra, og er ikke nødvendig for å forstå ovennevnte løsning.

Avstandsformelen gitt ovenfor ser mistenkelig ut som avstandsformelen i # RR ^ 2 # (to dimensjoner):

# "avstand" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

som kommer fra en enkel anvendelse av pythagorasetningen, ved å tegne en riktig trekant mellom to punkter med beina parallelt med # X # og # Y # akser.

Det viser seg at # RR ^ 3 # versjonen kan utledes på lignende måte. Hvis vi bruker (maksimalt) 3 linjer for å koble to punkter, går parallelt med # X #, # Y #, og # Z # akser, vi får en boks med punktene som motsatte hjørner. Så, la oss finne ut hvordan du kan beregne avstanden over en boks diagonal.

Vi prøver å finne ut lengden på den røde linjen #COLOR (red) (AD) #

Som dette er hypotenuse av trekanten # ABD #, fra pythagorasetningen:

# (farge (rød) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (farge (blå) (BC)) ^ 2 #

# => farge (rød) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (farge (blå) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Dessverre har vi ikke lengden på #COLOR (blå) (BD) # som en gitt. For å få det, må vi igjen bruke Pythagorasetningen, denne gangen til trekanten # BCD #.

# (farge (blå) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Som vi trenger bare torget av #COLOR (blå) (BD) #, vi kan nå erstatte # ("Ii") # inn i #("Jeg")#:

#color (rød) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Til slutt, hvis vi har #EN# på # (x_1, y_1, z_1) # og # D # på # (x_2, y_2, z_2) #, så har vi lengdene

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Ved å erstatte disse inn i ovennevnte gir vi det ønskede resultatet.

Som en ekstra notat, mens vi bare kan enkelt gjøre geometriske bevis i opptil 3 dimensjoner, har matematikere generell avstand i # RR ^ n # (# N # dimensjoner). Avstanden mellom

# (x_1, x_2, …, x_n) # og # (y_1, y_2, …, y_n) # er definert som

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

som matcher mønsteret fra # RR ^ 2 # og # RR ^ 3 #.