Utvalg av e ^ x / ([x] +1), x> 0 og hvor [x] betyr størst heltall?

Svar:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Forklaring:

Jeg antar # X # er det minste heltallet større enn # X #. I det følgende svaret bruker vi notasjonen #ceil (x) #, kalt takfunksjonen.

La #f (x) = e ^ x / (tak (x) +1) #. Siden # X # er strengt større enn #0#, dette betyr at domenet til # F # er # (0, + oo) #.

Som #X> 0 #, #ceil (x)> 1 # og siden # E ^ x # er alltid positiv, # F # er alltid strengt større enn #0# i sitt domene. Det er viktig å merke seg det # F # er ikke injeksjonsmiddel og er heller ikke kontinuerlig ved de naturlige tallene. For å bevise dette, la # N # være et naturlig nummer:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Fordi #X> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

På samme måte, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Siden venstre og høyre sidede grenser ikke er like, # F # er ikke kontinuerlig på heltallene. Også, #L> R # for alle #n i NN #.

Som # F # øker i intervaller begrenset av det positive heltall, vil de "minste verdiene" per intervall være som # X # nærmer seg nedre bundet fra høyre.

Derfor er minimumsverdien av # F # kommer til å bli

(X-> 0 ^ +) e ^ x / (tak (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Dette er den nedre grensen til # F #.

Selv om det ikke er riktig riktig å si det # F # er økende, er det i den forstand asymptotisk nærmer den uendelig - som vist nedenfor:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (tak (x) +1) #

Som #ceilx> = x #, finnes det a #delta <1 # slik at # Ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

La #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

(u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# E ^ u # øker eksponentielt mens # U # gjør det lineært, noe som betyr det

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Derfor rekkevidden av # F # er

# "Range" = (1/2, oo) #

Intervallet er åpent til venstre fordi #http: // 2 # er fremdeles #f (0) #, og som # X # tilnærminger #0^+#, #f (x) # bare tilnærminger #http: // 2 #; det er aldri virkelig likeverdig.