En akkord med en lengde på 12 løp fra pi / 12 til pi / 6 radianer på en sirkel. Hva er sirkelområdet?

Svar:

Området i en sirkel er

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Forklaring:

Bildet ovenfor reflekterer betingelsene som er angitt i problemet. Alle vinkler (forstørret for bedre forståelse) er i radianer som teller fra den horisontale X-aksen #OKSE# mot klokken.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Vi må finne en radius av en sirkel for å bestemme området.

Vi vet at akkord # AB # har lengde #12# og en vinkel mellom radiusene # OA # og # OB # (hvor # O # er et senter i en sirkel) er

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Konstruer en høyde #ÅH# av en trekant # Del AOB # fra toppunktet # O # til side # AB #. Siden # Del AOB # er ensom, #ÅH# er en median og en vinkel bisector:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Tenk på en riktig trekant # Del AOH #.

Vi vet det kateteret # AH = 6 # og vinkel # / _ AOH = pi / 24 #.

Derfor, hypotenuse # OA #, som er en radius av vår sirkel # R #, tilsvarer

# R = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Å vite radius, kan vi finne et område:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

La oss uttrykke dette uten trigonometriske funksjoner.

Siden

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

vi kan uttrykke området som følger:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

En annen trigonometrisk identitet:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Derfor,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Nå kan vi representere området av en sirkel som

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Svar:

En annen tilnærming samme resultat

Forklaring:

Akkord AB med lengde 12 i figuren ovenfor løper fra# Pi / 12 # til # Pi / 6 # i radiusens sirkel r og sentrum O, tatt som opprinnelse.

# / _ AOX = pi / 12 # og # / _ BOX = pi / 6 #

Så polar koordinat av A # = (R, pi / 12) # og den av B # = (R, pi / 6) Antall

Bruk avstandsformel for polarkoordinat

lengden på akkordet AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Så område av sirkelen

# = Pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-SQRT ((2 + sqrt3) / 4) #