Hva er ligningen for den normale linjen av f (x) = x ^ 3-49x ^ 2 + 7x ved x = 7?

Svar:

# Y = 1 / 532x-2009,013 #

Forklaring:

Den normale linjen ved et punkt er linjen vinkelrett på tangentlinjen på det punktet. Når vi løser problemer av denne typen, finner vi hellingen av tangentlinjen ved hjelp av derivatet, bruk det for å finne hellingen til normal linje, og bruk et punkt fra funksjonen for å finne den normale linjekvasjonen.

Trinn 1: Slang av tangentlinjen

Alt vi gjør her er å ta avledet av funksjonen og evaluere den på # X = 7 #:

#y '= 3x ^ 2-98x + 7 #

#y '(7) = 3 (7) ^ 2-98 (7) + 7 #

#y '(7) = -532 #

Det betyr hellingen til tangentlinjen på # X = 7 # er -532.

Trinn 2: Helling av den normale linjen

Hellingen til den normale linjen er rett og slett den motsatte invers av hellingen til tangentlinjen (fordi disse to er vinkelrette). Så vi flipper bare -532 og gjør det positivt å få #1/532# som skråningen av den normale linjen.

Endelig trinn: Finne ligningen

Normale linjekvasjoner er av formen # Y = mx + b #, hvor # Y # og # X # er poeng på linjen, # M # er skråningen, og # B # er den # Y #-avskjære. Vi har skråningen, # M #, som er det vi fant i trinn to: #1/532#. Poengene # X # og # Y # kan lett bli funnet ved å erstatte # X = 7 # inn i ligningen og løse for # Y #:

# Y = (7) ^ 3-49 (7) ^ 2 + 7 (7) #

#y = -2009 #

Nå kan vi bruke all denne informasjonen til å finne # B #, den # Y #-avskjære:

# Y = mx + b #

# -2009 = (1/532) (7) + b #

# -2009 = 7/532 + b #

# -2009-7 / 532 = b #

Vi kan omtrentlige dette til -2009.013, eller hvis vi virkelig ønsket å kunne, kunne vi omtrentliggjøre det også -2009.

Ligningen av den normale linjen er således # Y = 1 / 532x-2009,013 #.