Spørsmål # 9be0d

Svar:

Denne ligningen er en tilnærming av den relativistiske energien til en partikkel for lave hastigheter.

Forklaring:

Jeg antar litt kunnskap om spesiell relativitet, nemlig at energien til en bevegelig partikkel observert fra en inertial ramme er gitt av # E = gammamc ^ 2 #, hvor # Gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # Lorentz-faktoren. Her # V # er partikkelhastigheten observert av en observatør i en inertial ramme.

Et viktig tilnærming verktøy for fysikere er Taylor-serien tilnærming. Dette betyr at vi kan tilnærme en funksjon #f (x) # av #f (x) approxsum_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, den høyere # N #, jo bedre tilnærming. Faktisk blir denne tilnærmingen for en stor klasse av glatte funksjoner eksakt som # N # går til # Oo #. Noter det #f ^ ((n)) # står for nth-derivatet av # F #.

Vi tilnærmer funksjonen #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # for lite # X #, vi merker at hvis # X # er liten, # X ^ 2 # vil bli enda mindre, så vi antar at vi kan ignorere faktorer i denne rekkefølgen. Så vi har #f (x) approxf (0) + f '(0) x # (denne tilnærmingen er også kjent som Newton-tilnærmingen). #f (0) = 0 # og #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, så #f '(0) = 1/2 #. Derfor #f (x) approx1 + 1/2 x #.

Nå merker vi det # Y = f ((v / c) ^ 2) #. Faktisk hvis # V # er liten i forhold til # C #, som det vil være i daglige situasjoner, holder tilnærmingen slik # Gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Ved å erstatte dette i ligningen for den totale energien til en partikkel gir # Eapproxmc ^ 2 + 1/2 mV ^ 2 #. Dette gir oss den kinetiske energien #E _ ("kin") = E-E_ "resten" approxmc ^ 2 + 1/2 mV ^ 2-mc ^ 2 = 1/2 mV ^ 2 # for lave hastigheter, som er i overensstemmelse med klassiske teorier. For høyere hastigheter er det lurt å bruke flere betingelser fra Taylor-serien, og ende opp med såkalte relativistiske korreksjoner på kinetisk energi.