Integrasjon av 1 / (1 + x ^ 3) dx?

Svar:

# 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Forklaring:

Begynn med å faktorisere nevneren:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Nå kan vi gjøre delfraksjoner:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x 1) #

Vi kan finne #EN# ved hjelp av omslagsmetoden:

# A = 1 / ((tekst (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Deretter kan vi multiplisere begge sider av LHS-nevnen:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 (B + C-1/3) + x + (C + 1/3) #

Dette gir følgende ligninger:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1-> C = 2/3 #

Dette betyr at vi kan omskrive vårt opprinnelige integral:

(x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Det første integralet kan gjøres ved hjelp av en eksplisitt u-substitusjon, men det er ganske klart at svaret er #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Vi kan dele det gjenværende integralet i to:

(x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx)

Årsaken til trickery med multiplikasjon og deling av #2# er å gjøre venstrehåndsnevneren enklere å bruke u-substitusjon på.

Jeg ringer til venstre integral Integral 1 og den rette integral Integral 2

Integral 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Siden vi allerede har forberedt denne integralen for substitusjon, er alt vi trenger å gjøre, erstatning # U = x ^ 2-x + 1 #, og derivatet er # 2x-1 #, så vi deler med det for å integrere med hensyn til # U #:

#int avbryte (2x-1) / (kansellering (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

Integral 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

Vi ønsker å få dette integrert i skjemaet:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

For å gjøre dette, må vi fullføre torget for nevnen:

# X ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x, 1/4 + k #

# K = 3/4 for #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Vi ønsker å introdusere en u-substitusjon slik at:

# (X-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# x-1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2u + 1/2 #

Vi multipliserer med derivatet med hensyn til # U # å integrere med hensyn til # U #:

# Dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Fullfører den originale integralen

Nå som vi vet svaret på Integral 1 og Integral 2, kan vi koble dem tilbake til det opprinnelige uttrykket for å få vårt endelige svar:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Svar:

# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

Forklaring:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int (x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

Integrasjon ved hjelp av substitusjon intsqrt (1 + x ^ 2) / x dx? Hvordan løser jeg dette spørsmålet, vær så snill, hjelp meg?

Sqrt (1 + x ^ 2) -1/21n (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Bruk deg ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / (u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1/2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Å sette u = sqrt (1 + x ^ 2) tilbake i gir: sqrt (1 + x ^ 2) -1/21n abs (sqrt (1 + x ^ 2) 1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt

Hva er integrasjon ved hjelp av trapesformet regel?

La oss dele intervallet [a, b] i n delintervaller med like lengder. [a, b] til {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, hvor a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. Vi kan omtrentliggjøre den definerte integralen int_a ^ bf (x) dx ved Trapezoidregel T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { BA} / {2n}

Hvorfor finner integrasjon området under en kurve?

La oss se på definisjonen av et konkret integral nedenfor. Definitivt Integral int_a ^ bf (x) dx = lim_ {n til infty} sum_ {i = 1} ^ nf (a + iDelta x) Delta x, hvor Delta x = {b-a} / n. Hvis f (x) ge0, er definisjonen i hovedsak grensen for summen av områdene av tilnærmende rektangler, så ved design representerer det bestemte integral området av regionen under grafen av f (x) over x- akser.