Spørsmål # 242a2

Svar:

For energien lagret i kondensatoren til tider # T # vi har #E (t) == E (0) exp (-2T / (CR)) # hvor #E (0) # er den første energien, # C # kapasiteten og # R # motstanden til ledningen som forbinder kondensatorens to sider.

Forklaring:

La oss først gjennomgå noen kjernekonsepter før du svarer på dette spørsmålet. Selvfølgelig trenger vi å vite energien som er lagret i kondensatoren, eller heller energien som er lagret i det elektriske feltet opprettet av ladningen lagret i kondensatoren. For dette har vi formelen # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # med # C # kapasiteten til kondensatoren og # Q # ladningen lagret på en av kondensatorplatene. 1

For å vite hvordan energien minker, må vi vite hvordan ladningen reduseres. For dette er det noen ting vi bør huske på. Det første er at ladningen kun kan reduseres hvis den kan gå hvor som helst. Det enkleste scenariet er at de to platene er koblet til via en ledning, slik at platene kan bytte lade slik at de blir nøytrale. Den andre tingen er at hvis vi antar at ledningen ikke har motstand, vil ladningen kunne flytte øyeblikkelig, slik at energien vil falle til null med den hastigheten også. Siden dette er en kjedelig situasjon, og dessuten, ikke veldig realistisk, antar vi at ledningen har noe motstand # R #, som vi kan modellere ved å koble kondensatorplatene via en motstand med motstand # R # bruk av motstandsfrie ledninger.

Det vi har nå er en såkalt RC-krets, sett nedenfor. For å finne ut hvordan den lagrede ladningen endres, må vi skrive ned noen differensialligning. Jeg er ikke sikker på hvor dyktig leseren er i matte, så vær så snill å gi meg beskjed hvis følgende avsnitt er uklart for deg, og jeg vil prøve å forklare det mer detaljert.

Først og fremst legger vi merke til at når vi går langs ledningen, opplever vi to hopp elektrisk potensial (spenning), nemlig på kondensatoren og motstanden. Disse hoppene er gitt av # DeltaV_C = Q / C # og # DeltaV_R = IR # henholdsvis 1. Vi merker at i utgangspunktet er det ingen strøm, så den potensielle forskjellen over motstanden er 0, men som vi vil se, vil det være en strøm når kostnadene begynner å bevege seg. Nå legger vi merke til at når vi går rundt i kretsen fra et punkt, vil vi ende opp med det samme punktet igjen, fordi vi er i en krets. På dette punktet er potensialet det samme begge ganger, fordi det er det samme punktet. (Når jeg sier at vi går langs kretsen, mener jeg ikke dette bokstavelig talt, heller vi inspiserer spenningssprangene på kretsen på et tidspunkt, så ingen tid går når vi går langs kretsen, derfor holder argumentet seg, selv om spenningen endres i tid.)

Dette betyr at det totale potensielle hoppet er null. Så # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Nå tenker vi på hva #JEG#, den nåværende er. Strømmen er flytteladning, det tar positiv ladning vekk fra en kondensatorplate og leverer til den andre. (Egentlig det meste av tiden er det omvendt, men det spiller ingen rolle for matematikken til dette problemet.) Dette betyr at strømmen er lik forandringsladningen på platene, med andre ord # I = (dQ) / dt #. Å erstatte dette i ligningen ovenfor gir oss # (DQ) / DTR + Q / C = 0 #, som betyr # (DQ) / dt = -Q / (CR) #. Dette er en såkalt lineær første ordens differensialligning. Det dikterer forandringen i ladningen av verdien av ladningen på den tiden på en lineær måte, noe som betyr at hvis ladningen var dobbelt så stor, ville endringsavgiften være dobbelt så stor også. Vi kan løse denne ligningen ved smart bruk av kalkulator.

# (DQ) / dt = -Q / (CR) #, vi antar # Qne0 #, som det ikke er i utgangspunktet, og som det vil vise seg, vil det aldri bli. Ved å bruke dette kan vi si # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Å vite # Q # på et tidspunkt # T # (med andre ord #Q (t) #, integrerer vi ligningen som følger: # Int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t1 / (CR) dt '= - t / (CR) # siden # C # og # R # er konstanter. # Int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # via endring av variabler. Dette betyr #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, så #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Til slutt må vi erstatte dette tilbake i ligningen for energien:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2T / (CR)) = E (0) exp (-2T / (CR)) #.

Så faller energien eksponentielt gjennom tiden. Faktisk ser vi det hvis # R # skulle gå til null, #E (t) # ville gå til 0 umiddelbart.

1 Griffiths, David J. Introduksjon til elektrodynamikk. Fjerde utgave. Pearson Education Limited, 2014