Svar:
For den tredje siden å være den korteste, krever vi # (1 + sqrt2) | b |> ABSA> absb # (og det #en# og # B # ha samme tegn).
Forklaring:
Den lengste siden av en riktig trekant er alltid hypotenuse. Så vi vet hvor lenge hypotenusen er # A ^ 2 + b ^ 2. #
La den ukjente sidelengden være # C. # Så fra Pythagorasetningen vet vi
# (2AB) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
eller
# C = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #
#COLOR (hvit) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #
#COLOR (hvit) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#COLOR (hvit) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #
#COLOR (hvit) c = a ^ 2-b ^ 2 #
Vi krever også at alle sidelengder er positive, så
- # A ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 eller b! = 0 #
- # 2AB> 0 #
# => a, b> 0 eller a, b <0 #
- # C = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> A ^ 2> b ^ 2 #
# <=> ABSA> absb #
Nå for noen trekanten, den lengste siden må være kortere enn sum av de andre to sidene. Så vi har:
#color (hvit) (=>) 2ab + "" c farge (hvit) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> en ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab farge (hvit) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," hvis b> 0), (a <b "," hvis b <0):} #
Videre, for tredje side å være minst, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
eller # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # eller # a-b <sqrt2b # eller #a <b (1 + sqrt2) #
Kombinere alle disse restriksjonene, kan vi utlede at for at den tredje siden skal være den korteste må vi ha # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb og (a, b <0 eller a, b> 0). #
