Hvordan beviser du (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sek x + tan x) ^ 2?

Svar:

Bruk noen trig identiteter og forenkle. Se nedenfor.

Forklaring:

Jeg tror det er en feil i spørsmålet, men det er ikke så farlig. For at det skal være fornuftig, bør spørsmålet lese:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (sekx - tanx) ^ 2 #

Uansett begynner vi med dette uttrykket:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Når du viser trig-identiteter, er det generelt best å jobbe på siden som har en brøkdel).

La oss bruke et pent trick som heter konjugatmultiplikasjon, hvor vi multipliserer brøkdelingen av nevnerens konjugat:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Konjugatet av # A + b # er # A-b #, så konjugatet av # 1 + sinx # er # 1-sinx #; vi multipliserer med # (1-sinx) / (1-sinx) # å balansere fraksjonen.

Noter det # (1 + sinx) (1-sinx) # er faktisk en forskjell på torg, som har eiendommen:

# (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Her ser vi det # A = 1 # og # B = sinx #, så:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Fra den pythagoranske identiteten # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, følger det at (etter at du har trukket fra # Sin ^ 2x # fra begge sider), # Cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, vi gikk fra # (1-sinx) / (1-sinx) # til # 1-sin ^ 2x # til # cos ^ 2x #! Nå ser vårt problem ut:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

La oss utvide telleren:

# (1-2sinx + sin ^ 2 x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Huske: # (A-b) ^ 2 = a ^ + b ^ 2-2ab 2 #)

Nå bryter vi opp fraksjonene:

# 1 / cos ^ 2X- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = Sek ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = Sek ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Hvordan forenkle at ? Vel, husk da jeg sa "Husk: # (A-b) ^ 2 = a ^ + b ^ 2-2ab 2 #'?

Det viser seg at # Sek ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # er faktisk # (Secx-tanx) ^ 2 #. Hvis vi lar # A = secx # og # B = tanx #, vi kan se at dette uttrykket er:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Som, som jeg nettopp sa, tilsvarer # (A-b) ^ 2 #. Erstatte #en# med # Secx # og # B # med # Tanx # og du får:

# Sek ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Og vi har fullført prood:

# (Secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #