Spørsmål # 53a2b + Eksempel

Svar:

Denne definisjonen av avstand er uforvarende under endring av inertial ramme, og har derfor fysisk betydning.

Forklaring:

Minkowski-rommet er konstruert for å være et 4-dimensjonalt rom med parameterkoordinater # (X_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, hvor vi vanligvis sier # X_0 = ct #. Kjerne av spesiell relativitet har vi Lorentz-transformasjonene, som er transformasjoner fra en inertial ramme til en annen som gir lysets hastighet uforvarende. Jeg vil ikke gå inn i full avledning av Lorentz-transformasjonene, hvis du vil at jeg skal forklare det, bare spør, og jeg vil gå inn i mer detalj.

Det som er viktig er følgende. Når vi ser på euklidisk plass (rom hvor vi har den vanlige definisjonen av lengde som vi er vant til # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + ^ 2 + dx_2 dx_3 ^ 2 #), vi har visse transformasjoner; romlige rotasjoner, oversettelser og speilinger. Hvis vi beregner avstanden mellom to punkter i forskjellige referanserammer forbundet med disse transformasjonene, finner vi avstanden til å være den samme. Dette betyr at den euklidiske avstanden er uforvarende under disse transformasjonene.

Nå utvider vi denne oppfatningen til 4-dimensjonal spacetime. Før Einsteins teori om spesiell relativitet, forbinder vi trangrammer med Galilei-transformasjoner, som nettopp har erstattet en romlig koordinat # X_i # av # X_i-v_it # til #iin {1,2,3} # hvor # V_i # er observatørens hastighet i #Jeg# retning i forhold til den opprinnelige rammen. Denne transformasjonen forlot ikke lysets hastighet ivariant, men det forlot avstanden indusert av ledningselementet # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + ^ 2 + dx_1 dx_2 ^ 2 + ^ 2 # dx_3, rett og slett fordi det ikke er noen endring i tidskoordinatoren, så tiden er absolutt.

Imidlertid beskriver Galilei-transformasjonen ikke nøyaktig omformingen av en inertial ramme til en annen, fordi vi vet at lysets hastighet er uforvarende under en skikkelig koordinatransformasjon. Derfor har vi introdusert Lorentz-transformasjonen. Den euklidiske avstanden utvidet til 4-dim spacetime som gjort ovenfor er ikke invariant under denne Lorentz transformasjonen, men avstanden indusert av # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + ^ 2 + dx_1 dx_2 ^ 2 + ^ 2 # dx_3 er, som vi kaller riktig avstand. Så selv om denne euklidiske avstanden hvor Pythagoras-setningen holder, er en perfekt anstendig matematisk struktur på 4-dimensjonen, har den ingen fysisk betydning, siden den er avhengig av observatøren.

Den riktige avstanden er ikke avhengig av observatøren, derfor kan vi gi den fysisk mening, dette gjøres ved å knytte arcenght av en verdenslinje gjennom Minkowski-rom ved å bruke denne avstanden til den tid som er gått i observasjon av et objekt som reiser langs denne verdenslinjen. Vær oppmerksom på at hvis vi forlater fast tid, holder Pythagoras teorem fortsatt i de romlige koordinatene.

REDIGERING / TILLEGGSFORKLARING:

Den opprinnelige spørsmålet om dette spørsmålet ba meg om å utarbeide litt mer, skrev han: "Takk. Men kan du snakke om de to siste parene litt mer. I en bok så jeg at de hadde # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 #. Vennligst forklare "I hovedsak er det vi har her en todimensjonal versjon av det jeg beskrev ovenfor. Vi har en beskrivelse av tidsrom med en gang og en romdimensjon. Her definerer vi en avstand, eller mer nøyaktig en norm (en avstand fra opprinnelsen til et punkt) # S # ved hjelp av formelen # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # hvor # X # er den romlige koordinaten og # T # den tidsmessige koordinaten.

Det jeg gjorde ovenfor var en tredimensjonal versjon av dette, men enda viktigere brukte jeg # (ds) ^ 2 # i stedet for # s ^ 2 # (Jeg har lagt til parentes for å avklare hva som er kvadret). Uten å gå inn i detaljer om differensial geometri for mye, hvis vi har en linje som forbinder to punkter i rommet, # ds # er lengden på et lite stykke av linjen, et såkalt linjedelement. Via en 2D-versjon av det jeg skrev over, har vi # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, som relaterer lengden på dette lille stykket til den lille endringen i koordinatene. For å beregne avstanden fra opprinnelsen til et punkt # X_0 = a, x_1 = b # I tidsrom beregner vi lengden på en rett linje som går fra opprinnelsen til det punktet, denne linjen er gitt # X_0 = a / bx_1 # hvor # X_1in 0, b #, bemerker vi det # Dx_0 = a / bdx_1 #, så # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, så # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, som vi kan integrere, gi # S = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-en ^ 2) #.

Derfor # S ^ 2 = b ^ 2-en ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # i # (T, x) # koordinater.

Så det jeg skrev ovenfor gir det du leser i boken. Men linjeelementversjonen lar deg beregne lengden på en hvilken som helst linje, ikke bare rette linjer. Historien om Lorentz-transformasjonen har fortsatt, denne normen # S # er uforanderlig under endring av referanse ramme, mens # X ^ 2 + (ct) ^ 2 # er ikke.

Det faktum at Pythagoras-setningen ikke holder, er ikke så overraskende. Pythagorasetningen holder seg i euklidisk geometri. Dette betyr at rommet du jobber med er flatt. Et eksempel på mellomrom som ikke er flate er overflaten av en sfære. Når du vil finne avstanden mellom to punkter på denne overflaten, tar du lengden på den korteste banen over denne overflaten som forbinder disse to punktene. Hvis du skulle konstruere en riktig trekant på denne overflaten, som ville se veldig forskjellig fra en trekant i euklidisk rom, siden linjene ikke ville være rette, holder ikke Pythagoras teorem generelt.

En annen viktig egenskap ved euklidisk geometri er at når du setter et koordinatsystem på dette rommet, utfører hver koordinator den samme rollen. Du kan rotere aksene og ende opp med samme geometri. I Minkowski geometrien ovenfor har ikke alle koordinater samme rolle, siden tidsakser har et minustegn i ligningene og de andre ikke har det. Hvis dette minustegnet ikke var der, ville tid og rom ha en lignende rolle i tidsrom, eller i det minste i geometrien. Men vi vet at rom og tid ikke er det samme.