Hva er en egenvektor? + Eksempel

Svar:

Hvis vektor # V # og lineær transformasjon av et vektorrom #EN# er slik at #A (v) = k * v # (hvor konstant # K # er kalt egenverdi), # V # kalles en egenvektor av lineær transformasjon #EN#.

Forklaring:

Tenk deg en lineær transformasjon #EN# av å strekke alle vektorer med en faktor på #2# i det tredimensjonale rommet. En hvilken som helst vektor # V # ville bli forvandlet til # 2v #. Derfor er alle vektorer for denne transformasjonen egenvektorer med egenverdi av #2#.

Vurder en rotasjon av et tredimensjonalt rom rundt Z-aksen med en vinkel på # 90 ^ o #. Tydeligvis vil alle vektorer bortsett fra de som er langs Z-aksen, endre retningen og kan derfor ikke være egenvektorer. Men de vektorer langs Z-aksen (deres koordinater er av formen # 0,0, z #) vil beholde sin retning og lengde, derfor er de egenvektorer med egenverdi av #1#.

Endelig vurdere en rotasjon av # 180 # ^ o i et tredimensjonalt rom rundt Z-aksen. Som tidligere, vil alle vektorer lange Z-akse ikke forandres, så de er egenvektorer med egenverdi av #1#.

I tillegg er alle vektorer i XY-planet (deres koordinater er av skjemaet # X, y, 0 #) vil endre retningen til motsatt, mens du holder lengden. Derfor er de også egenvektorer med egenverdier av #-1#.

En hvilken som helst lineær transformasjon av et vektorrom kan uttrykkes som multiplikasjon av en vektor av en matrise. For eksempel er det første eksempelet på strekking beskrevet som multiplikasjon med en matrise #EN#

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

En slik matrise, multiplisert med hvilken som helst vektor # V = {x, y, z} # vil produsere # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Dette er åpenbart lik til # 2 * v #. Så har vi

# A * v = 2 * v #, som viser at noen vektor # V # er en egenvektor med en egenverdi #2#.

Det andre eksempelet (rotasjon av # 90 ^ o # rundt Z-aksen) kan beskrives som multiplikasjon med en matrise #EN#

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

En slik matrise, multiplisert med hvilken som helst vektor # V = {x, y, z} # vil produsere # A * v = {- y, x, z} #, som kan ha samme retning som originalvektoren # V = {x, y, z} # bare hvis # X = y = 0 #, det vil si hvis originalvektoren er rettet langs Z-aksen.