Hva er løsningene på (z-1) ^ 3 = 8i?

Svar:

#z i {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Forklaring:

For dette problemet må vi vite hvordan man finner # N ^ "th" # røtter av et komplekst tall. For å gjøre dette, bruker vi identiteten

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

På grunn av denne identiteten kan vi representere et komplekst tall som

# a + bi = Re ^ (itheta) # hvor #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # og #theta = arctan (b / a) #

Nå skal vi gå over trinnene for å finne # 3 ^ "rd" # røtter av et komplekst tall # A + bi #. Trinnene for å finne # N ^ "th" # røttene er like.

gitt # a + bi = Re ^ (itheta) # Vi ser etter alle komplekse tall # Z # slik at

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Som # Z # er et komplekst tall, eksisterer det # R_0 # og # Theta_0 # slik at

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Deretter

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Fra dette har vi umiddelbart # R_0 = R ^ (1/3) #. Vi kan også likestille eksponenter av # E #, men bemerker at som sinus og cosinus er periodiske med perioden # 2pi #, så fra den opprinnelige identiteten, # E ^ (itheta) # vil være like godt. Da har vi

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # hvor #k i ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # hvor #k i ZZ #

Men som om vi fortsetter å legge til # 2pi # om og om igjen, vil vi ende opp med de samme verdiene, vi kan ignorere de overflødige verdiene ved å legge til begrensningen # theta_0 i 0, 2pi) #, det er, #k i {0, 1, 2} #

Når vi setter det sammen, får vi løsningen

(1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

Vi kan konvertere dette tilbake til # A + bi # dersom du ønsker det, bruk identiteten

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Bruk av ovenstående til problemet ved hånden:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Ved hjelp av prosessen ovenfor kan vi finne # 3 ^ "rd" # røtter av #Jeg#:

(ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

påføring # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # vi har

# i ^ (1/3) i {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Til slutt erstatter vi disse verdiene for #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z i {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #