Svar:
Ingen løsninger i # RR #.
Forklaring:
Først av alt, la oss forenkle litt:
Som # E ^ x # og #ln (x) # er inverse funksjoner, # e ^ ln (x) = x # holder så vel som #ln (e ^ x) = x #. Dette betyr at du kan forenkle det tredje logaritmiske begrepet:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Ditt neste mål er å bringe alle #Logg# Fungerer til samme base slik at du har mulighet til å bruke logaritmeregler på dem og forenkle.
Du kan endre logaritmen som følger:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
La oss bruke denne regelen til å endre basen #8# av # Log_8 # og basen #32# av # Log_32 # til basen #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Nå kan vi beregne # log_2 (8) = 3 # og # log_2 (32) = 5 #
(Hvis det ikke er klart, la meg slå det ned for å være sikker: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
Dette fører oss til følgende enklere, logaritmiske ligning:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… formere begge sider med #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Nå er vi klare til å bruke logaritmen:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # og #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
Målet er å ha bare en #Logg# Term på venstre side. La oss gjøre det.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
På dette tidspunktet kan vi kvitte seg med # Log_2 (a) # ved å bruke den inverse funksjonen # 2 ^ en # til begge sider av ligningen.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Dessverre må jeg innrømme at jeg står fast akkurat nå, siden jeg ikke vet hvordan man skal løse denne ligningen.
Men plotting #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # forteller meg at denne ligningen ikke har noen løsninger i # RR #.
graf {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9,63, 10,37, -4,88, 5,12}
Jeg håper at dette hjalp litt!
