Hvordan finner du en Power Series representasjon for (arctan (x)) / (x) og hva er konvergensradius?

Svar:

Integrer kraftserien til derivatet av #arctan (x) # deretter del av # X #.

Forklaring:

Vi kjenner kraftseriens representasjon av # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # slik at #absx <1 #. Så # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Så kraften serien av #arctan (x) # er (2n + 1) x ^ (2n + 1) x (2n + 1) ^ (2n + 1) x ^ (2n + 1) dx = sum_n (-1) ^ nx ^ #.

Du deler det med # X #, finner du ut at kraftserien til #arctan (x) / x # er #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. La oss si #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

For å finne konvergensradius av denne kraftserien vurderer vi #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((-1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Så hvis vi vil at kraftserien skal konvergere, trenger vi #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, så serien vil konvergere hvis #absx <1 #, som ikke er overraskende siden det er konvergensradius av kraftseriens representasjon av #arctan (x) #.