Svar:
Sjekk nedenfor for svar
Forklaring:
Til # X = 0 # vi har
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Vi vurderer en ny funksjon #G (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, # X ##i## RR #
#G (0) = 0 #, #G '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, # X ##i## RR #
Som et resultat # G # er økende i # RR #. Dermed fordi det er strengt økende # G # er "#1-1#"(en til en)
Så, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #G (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
Vi må vise det # X / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (F (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- # F # er kontinuerlig på # 0, x #
- # F # er differentiable i # (0, x) #
I henhold til middelverdisetningen er det # X_0 ##i## (0, x) #
for hvilken #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, # X ##i## RR # så
ved å differensiere begge deler vi får
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
Funksjonen # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # er differensierbar. Som et resultat # F '# er differentiable og # F # er 2 ganger differentiable med
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ') / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (F '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, # X ##i## RR #
-> # F '# er strengt økende i # RR # som betyr
# X_0 ##i## (0, x) # #<=># #0<## X_0 <## X # #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
# X / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
