Svar:
Gjør mye algebra etter å ha brukt grensedefinisjonen for å finne at skråningen på # X = 3 # er #13#.
Forklaring:
Grensedefinisjonen for derivatet er:
#f '(x) = lim_ (H-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Hvis vi vurderer denne grensen for # 3x ^ 2-5x + 2 #, vi får et uttrykk for derivat av denne funksjonen. Derivatet er rett og slett hellingen av tangentlinjen ved et punkt; så evaluerer derivatet på # X = 3 # vil gi oss skråningen på tangentlinjen på # X = 3 #.
Med det sagt, la oss komme i gang:
#f '(x) = lim_ (H-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (H-> 0) (3 (x ^ 2 + 2HX + h ^ 2) -5x-5H + 2-3 x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (H-> 0) (avbryt (3x ^ 2) + 6HX + 3h ^ 2, kansellere (5x) -5H + avbryt (2) Avbryte (3x ^ 2) + avbryt (5x) Avbryte (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (H-> 0) (6HX + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (H-> 0) (avbryt (h) (6x + 3h-5)) / avbryt (h) #
#f '(x) = lim_ (H-> 0) 6x + 3h-5 #
Evaluering av denne grensen på # H = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Nå som vi har avledet, trenger vi bare å plugge inn # X = 3 # for å finne hellingen av tangentlinjen der:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Svar:
Se forklaringsdelen nedenfor hvis din lærer / lærebok bruker #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Forklaring:
Noen presentasjoner av kalkulatorbruk, for definisjon av helling av linjen som er tangent til grafen til #f (x) # på det punktet hvor # x = a # er #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # forutsatt at grensen eksisterer.
(For eksempel James Stewarts 8. utgave kalkulus s. 106. På side 107 gir han ekvivalenten #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Med denne definisjonen er hellingen av tangentlinjen til grafen til #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # på det punktet hvor # X = 3 # er
(xr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) 2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Merk at denne grensen har ubestemt form #0/0# fordi #3# er null av polynomet i telleren.
Siden #3# er null, det vet vi # x-3 # er en faktor. Så vi kan faktorere, redusere og prøve å evaluere igjen.
# = lim_ (xrarr3) (avbryt ((x-3)) (3x + 4)) / avbryt ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Grensen er #13#, så hellingen av tangentlinjen på # X = 3 # er #13#.
