Svar:
Jeg tror ikke at ligningen er gyldig. Jeg antar #abs (z) # er absoluttverdiefunksjonen
Forklaring:
Prøv med to ord, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
derav
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Kanskje du mener trekantenes ulikhet for komplekse tall:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Vi kan forkorte dette
# | sum z_i | le sum | z_i | #
hvor summene er #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemma. # tekst {Re} (z) le | z | #
Den virkelige delen er aldri større enn størrelsen. La # Z = x + iy # for noen ekte # X # og # Y #. Helt klart # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # og tar firkantede røtter # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. Størrelsen er alltid positiv; # X # kan eller ikke være; Uansett er det aldri mer enn størrelsen.
Jeg bruker overlinjen for konjugat. Her har vi et reelt tall, den kvadratiske størrelsen, som tilsvarer produktet av konjugatene.Trikset er at det tilsvarer sin egen virkelige del. Den virkelige delen av summen er summen av de virkelige delene.
# | sum z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = tekst {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i tekst {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
Ved vår lemma, og størrelsen på produktet er produktet av størrelser, og størrelsen på konjugatene er like,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Vi kan avbryte en faktor av størrelsen på summen # | sum z_i | #, som er positiv, bevare ulikheten.
# | sum z_i | le sum | z_i | #
Det var det vi ønsket å bevise.
