Hva er kvadratroten av sqrt ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

Svar:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

gitt minst to av følgende hold:

# x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

Forklaring:

Noter det:

# (X ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2) #

(farge (svart) (x ^ 2))) + farge (lilla) (avbryt (farge (svart)) (y ^ 2))) - farge (purpur) (avbryt (farge (sort) (y ^ 2))) + farge (fiolett) (avbryt (farge (sort) (z ^ 2))) - farge (fiolett) (avbryt (farge (svart) (z ^ 2))) = 0 #

Så la oss se hva som skjer når vi firkant:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2) #

som de kvadrede vilkårene vil avbryte …

# (Sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 #

# = (Sqrt (x ^ 2-y ^ 2)) ^ 2 + (sqrt (y ^ 2-z ^ 2)) ^ 2 + (sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = Farger (rød) (avbryt (farge (sort) ((x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2)))) + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = 2 (sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + SQRT ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))) #

Så kvadratroten vi vil ha er:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

#COLOR (hvit) () #

Merknader

Ovenstående svar antar mer eller mindre at:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

Mens dette holder fast hvis minst en av #a, b # er ikke-negativ, det mislykkes hvis begge er negative.

Dette kan skje i ovennevnte avledning hvis, for eksempel:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

Da finner vi:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… det motsatte tegnet fra det vi trenger.