Hva er den absolutte ekstreme av f (x) = x ^ (1/3) * (20-x) i [0,20]?

Svar:

Det absolutte minimumet er #0#, som skjer på #x = 0 # og # X = 20 #.

Det absolutt maksimale er # 15root (3) 5 #, som skjer på #x = 5 #.

Forklaring:

De mulige poengene som kan være absolutt ekstrem, er:

Vendepunkter; dvs. poeng hvor # dy / dx = 0 #

Intervallets endepunkter

Vi har allerede våre endepunkter (#0# og #20#), så la oss finne våre vendepunkter:

#f '(x) = 0 #

# d / dx (x ^ (1/3) (20-x)) = 0 #

# 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 #

# (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) #

# (20-x) / (3x) = 1 #

# 20-x = 3x #

# 20 = 4x #

# 5 = x #

Så det er et vendepunkt hvor #x = 5 #. Dette betyr at de 3 mulige poengene som kan være extrema er:

# x = 0 "" "" x = 5 "" "" x = 20 #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

La oss koble disse verdiene til #f (x) #:

#f (0) = (0) ^ (1/3) (20-0) = 0 * 20 = farge (rød) 0 #

(5) = (5) ^ (1/3) (20-5) = rot (3) (5) * 15 = farge (rød)

# 20 (20) = (20) = 0 (0) (0) (0)

Derfor, på intervallet #x i 0, 20 #:

Det absolutte minimumet er #COLOR (rød) 0 #, som skjer på #x = 0 # og # X = 20 #.

Det absolutt maksimale er #COLOR (red) (15root (3) 5) #, som skjer på #x = 5 #.

Endelig svar