Hva er flertallet av den ekte roten til en ligning som krysser / berører x-aksen en gang?

Svar:

Noen observasjoner …

Forklaring:

Noter det #f (x) = x ^ 3 # har egenskapene:

• #f (x) # er i grad #3#

• Den eneste virkelige verdien av # X # for hvilken #f (x) = 0 # er # X = 0 #

Disse to egenskapene alene er ikke tilstrekkelig til å bestemme at nullet på # X = 0 # er av mangfoldighet #3#.

For eksempel, vurder:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Noter det:

• #G (x) # er i grad #3#

• Den eneste virkelige verdien av # X # for hvilken #g (x) = 0 # er # X = 0 #

Men mangfoldet av null på #G (x) # på # X = 0 # er #1#.

Noen ting vi kan si:

• Et polynom av grad #n> 0 # har akkurat det # N # komplekse (muligens ekte) nuller som teller multiplikasjon. Dette er en konsekvens av Algebras grunnleggende setning.

• #f (x) = 0 # bare når # X = 0 #, men det er av grad #3#, det har også #3# nuller teller mangfold.

• Derfor det null på # X = 0 # må være av mangfold #3#.

Hvorfor er det samme ikke sant for #G (x) #?

Det er av grad #3#, så har tre nuller, men to av dem er ikke ekte komplekse nuller, navn # + - i #.

En annen måte å se på dette er å observere det # x = a # er en null på #f (x) # hvis og bare hvis # (X-a) # er en faktor.

Vi finner:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Det er: # X = 0 # er null #3# ganger over.