Hva er derivatet av f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Prosess:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Først vil vi omskrive likningen i et form som er lettere å jobbe med.

Ta koskanten av begge sider:

2.) #csc y = x #

Skriv om hva som betyr sinus:

3.) # 1 / siny = x #

Løs for # Y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Nå skal det være enklere å ta derivatet. Det er nå bare et spørsmål om kjederegelen.

Vi vet det # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alfa ^ 2) # (det finnes et bevis på denne identiteten her)

Så ta derivatet av funksjonen utenfor, multipliser med derivatet av # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Derivatet av # 1 / x # er det samme som derivatet av #X ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Forenkling 8. gir oss:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

For å gjøre uttalelsen litt finere, kan vi bringe kvadratet av # X ^ 2 # inne i radikalet, selv om dette ikke er nødvendig:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2)))

Forenkling av utbyttet:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Og det er vårt svar. Husk at derivatproblemer som involverer inverse trig-funksjoner, for det meste er en øvelse med kunnskap om trig-identiteter. Bruk dem til å bryte ned funksjonen i et skjema som er lett å skille mellom.