Hva er rekkevidden av funksjonen f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Svar:

Utvalget er #R = (-infty, -1/2) uu 1/6, + infty) #

Forklaring:

Merk at nevneren er udefinert når

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, det er når som helst

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

eller

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, hvor #n i ZZ # (# N # er et heltall).

Som # X # tilnærminger #x_ (1, n) # nedenfra, #f (x) # tilnærminger # - infty #, mens hvis # X # tilnærminger #x_ (1, n) # fra over da #f (x) # tilnærminger # + Infty #. Dette skyldes divisjon med "nesten" #-0# eller #+0#'.

Til #x_ (2, n) # Situasjonen er reversert. Som # X # tilnærminger #x_ (2, n) # nedenfra, #f (x) # tilnærminger # + Infty #, mens hvis # X # tilnærminger #x_ (2, n) # fra over da #f (x) # tilnærminger # -Infty #.

Vi får en sekvens av intervaller der #f (x) # er kontinuerlig, som det kan ses i plottet. Tenk først på "boller" (i hver sin ende blåses opp # + Infty #). Hvis vi finner de lokale minimumene i disse intervaller, vet vi det #f (x) # antar alle verdiene mellom denne verdien og # + Infty #. Vi kan gjøre det samme for "opp og ned boller", eller "caps".

Vi merker at den minste positive verdien oppnås når nevnen i #f (x) # er så stor som mulig, det er da #sin (x) = 1 #. Så konkluderer vi med at den minste positive verdien av #f (x) # er #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Den største negative verdien er tilsvarende funnet å være #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

På grunn av kontinuiteten i #f (x) # I intervaller mellom diskontinuiteter, og Intermediate value-teoremet, kan vi konkludere med at omfanget av #f (x) # er

#R = (-infty, -1/2) uu 1/6, + infty) #

De vanskelige parentesene betyr at tallet er inkludert i intervallet (f.eks. #-1/2#), mens myke braketter betyr at nummeret ikke er inkludert.

graf {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}