Svar:
# "Det finnes ingen enkel faktorisering her. Bare en generell metode" #
# "for å løse en kubisk ligning kan hjelpe oss her." #
Forklaring:
# "Vi kunne bruke en metode basert på substitusjonen av Vieta." #
# "Fordeling med de første koeffisientutbytter:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Substituting" x = y + p "i" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "gir:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "hvis vi tar" 3p + a = 0 "eller" p = -a / 3 ", den første koeffisienten" # # # "blir null, og vi får:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(med" p = -2/3 ")" #
# "Substituting" y = qz "i" y ^ 3 + b y + c = 0 ", gir:" #
# z ^ 3 + bz / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "hvis vi tar" q = sqrt (| b | / 3) ", blir koeffisienten til z" #
# "3 eller -3, og vi får:" #
# "(her" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Substituting" z = t + 1 / t ", gir:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1,87850338 = 0 #
# "Erstatter" u = t ^ 3 ", gir den kvadratiske ligningen:" #
# => u ^ 2 + 1,87850338 u + 1 = 0 #
# "Røttene til den kvadratiske ligningen er komplekse." #
# "Dette betyr at vi har 3 reelle røtter i vår kubiske ligning." #
# "En rot av denne kvadratiske ligningen er" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 jeg #
# "Bytter variablene tilbake, gir:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# "De andre røttene kan bli funnet ved å dele og løse" # # # "gjenværende kvadratisk likning." #
# "De andre røttene er ekte: -3.87643981 og 0.61210551." #
Svar:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
hvor:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Forklaring:
gitt:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Vær oppmerksom på at dette faktoriserer mye lettere hvis det er en skrivefeil i spørsmålet.
For eksempel:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-farge (rød) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + farge (rød) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Hvis kubikket er riktig i gitt form, så kan vi finne nuller og faktorer som følger:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Tschirnhaus transformasjon
For å gjøre oppgaven med å løse den kubiske enklere, gjør vi det kubiske enklere ved hjelp av en lineær substitusjon kjent som en Tschirnhaus-transformasjon.
# 0 = 108F (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1,712 #
# = T ^ 3-282t + 1,712 #
hvor # T = (6x + 4) #
Trigonometrisk substitusjon
Siden #f (x) # har #3# ekte nuller, Cardano metode og lignende vil resultere i uttrykk som involverer irreducible kube røtter av komplekse tall. Min preferanse under slike omstendigheter er å bruke en trigonometrisk substitusjon i stedet.
Sette:
#t = k cos theta #
hvor # k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Deretter:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (hvit) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (hvit) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (hvit) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Så:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Så:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Så:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Så:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Som gir #3# tydelige nuller av kubikk i # T #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # til #n = 0, 1, 2 #
Deretter:
#x = 1/6 (t-4) #
Så de tre nullene av gitt kubikk er:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
med omtrentlige verdier:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~ ~ -3.8764 #
# x_2 ~ ~ 0.61211 #
