Svar:
# Dy / dx = -20/21 #
Forklaring:
Du må vite grunnleggende om implisitt differensiering for dette problemet.
Vi vet at hellingen av tangentlinjen på et punkt er derivatet; så det første skrittet blir å ta derivatet. La oss gjøre det stykke for stykke, og begynner med:
# D / dx (3y ^ 2) #
Denne er ikke for vanskelig; du må bare bruke kjedestyrken og strømregelen:
# D / dx (3y ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Nå inn på # 4xy #. Vi trenger kraft-, kjede- og produktreglene for denne:
# D / dx (4xy) #
# -> 4 d / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Produktregel: # D / dx (uv) = u'v + uv '#
# = 4 (y + xdy / dx) #
# = 4y + 4xdy / dx #
Ok, til slutt # X ^ 2y # (mer produkt, kraft og kjede regler):
# D / dx (x ^ 2y) #
# = (X ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2xy + x ^ 2DY / dx #
Nå som vi har funnet alle våre derivater, kan vi uttrykke problemet som:
# D / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2DY / dx = 0 #
(Husk derivatet av en konstant er #0#).
Nå samler vi vilkårene med # Dy / dx # på den ene siden og flytte alt annet til det andre:
# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2DY / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2DY / dx = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
Alt som er igjen å gjøre er å plugge inn #(2,5)# for å finne svaret vårt:
# Dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
# Dy / dx = - (4 (5) 2 (2) (5)) / (6 (5) 4 (2) + (2) ^ 2) #
# Dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# Dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
