Hvordan løser du x + 2 = e ^ (x)?

Svar:

Bruk Newtons metode

#x = 1.146193 # og #x = -1.84141 #

Forklaring:

Du kan ikke løse ligningen ved hjelp av algebraiske metoder. For denne typen likning bruker jeg en numerisk analyse teknikk kalt Newtons metode.

Her er en referanse til Newtons metode

La #f (x) = e ^ x - x - 2 = 0 #

#f '(x) = e ^ x - 1 #

Du starter med et gjetning for # X_0 # og gjør deretter følgende beregning for å komme nærmere løsningen:

#x_ (n + 1) = x_n - f (x_n) / (f '(x_n)) #

Du gjør beregning, og mate hvert trinn tilbake til ligningen, til nummeret du får, ikke endres fra forrige nummer.

Fordi Newtons metode er beregningsintensiv, bruker jeg et Excel-regneark.

Åpne et Excel-regneark

Inn i celle A1 angi gjetningen din for # X_0 #. Jeg gikk inn i 1 i celle A1.

I cellen A2 skriver du inn følgende uttrykk:

= A1 - (EXP (A1) - A1 - 2) / (EXP (A1) - 1)

Kopier innholdet til celle A2 i utklippstavlen og lim deretter det inn i celle A3 gjennom A10.

Du vil se at tallet raskt konvergerer på #x = 1.146193 #

Rediger: Etter å ha lest en veldig fin kommentar fra Shell. Jeg bestemte meg for å finne den andre roten ved å endre verdien av celle A1 fra 1 til -1. Regnearket konvergerer raskt på verdien #x = -1.84141 #

Svar:

Dette spørsmålet kan ikke løses algebraisk. Grafer gir # X = -1,841 # og # X = 1,146 #.

Forklaring:

Venstre side av ligningen # x + 2 # er algebraisk.

Den høyre siden av ligningen # E ^ x # er transcendentalt (det kan ikke uttrykkes som et polynom eksempelvis eksponentielle, logger, trig-funksjoner).

Denne ligningen kan ikke løses algebraisk, men den kan løses grafisk.

Å løse, plotte begge #COLOR (red) (y = x + 2) # og #COLOR (blå) (y = e ^ x) # i et grafisk verktøy eller en grafisk kalkulator. Løsningene er # X # koordinatene til kryssene.