Vi har:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Trinn 2 - Identifiser kritiske poeng
Et kritisk punkt oppstår ved en samtidig løsning av
# f_x = f_y = 0 iff (delvis f) / (delvis x) = (delvis f) / (delvis y) = 0 #
dvs. når:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # samtidig
Herfra kan vi etablere:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x)
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y)
Dermed krever vi at:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Da har vi to (uendelige fly) løsninger:
#:. x = + - y #
Og så konkluderer vi at det er uendelig mange kritiske punkter langs hele lengden av krysset mellom kurven og de to flyene
Trinn 3 - Klassifiser de kritiske punktene
For å klassifisere de kritiske punktene utfører vi en test som ligner den for en variabel kalkulasjon ved hjelp av de andre partielle derivatene og Hessian Matrix.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (xx) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | (delvis ^ 2 f) / (delvis x 2), (delvis ^ 2 f) / (delvis x delvis y)), ((delvis ^ 2 f) /) / (delvis y ^ 2)) | #
# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Deretter avhengig av verdien av
# {: (Delta> 0, "Det er maksimum hvis" f_ (xx) <0), (, "og minst hvis" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "det er et salepunkt"), (Delta = 0, "Videre analyse er nødvendig"):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
(x2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Vi må vurdere tegn på
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Så, avhengig av tegnet
Her er et plott av funksjonen
Og her er et plott av funksjonen, inkludert flyene
