Hva er området med en trapezoid hvis diagonaler er hver 30 og hvis høyde er 18?

Svar:

#S_ (trapes) = 432 #

Forklaring:

Vurder figur 1

I en trapesformet ABCD som tilfredsstiller forholdene til problemet (hvor # BD = AC = 30 #, # DP = 18 #, og AB er parallell med CD) merker vi, ved bruk av Alternate Interior Angles Theorem, at # A = delta # og # Beta = gamma #.

Hvis vi tegner to linjer vinkelrett på segmentet AB, som danner segmenter AF og BG, kan vi se det #triangle_ (AFC) - = triangle_ (BDG) # (fordi begge trekanter er de riktige og vi vet at hypotenusen til den ene er lik hypotesen til den andre og at et ben av en trekant er lik et ben av den andre trekanten) så da # Alpha = beta # => # Gamma = delta #.

Siden # Gamma = delta # vi kan se det #triangle_ (ABD) - = triangle_ (ABC) # og # AD = BC #, derfor er trapesformen ensomme.

Vi kan også se det #triangle_ (ADP) - = triangle_ (BCQ) # => # AP = BQ # (eller # X = y # på figur 2).

Vurder figur 2

Vi ser at trapesen i figur 2 har en annen form enn den i figur 1, men begge tilfredsstiller forholdene til problemet. Jeg presenterte disse to figurene for å vise at informasjonen til problemet ikke tillater å bestemme størrelsen på basen 1 (# M #) og av basen 2 (# N #) av trapesen, men vi ser at det ikke er behov for mer informasjon for å beregne trapesformens område.

I #triangle_ (BDP) #

# DB ^ 2 = DP ^ 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (x + m) ^ 2 # => # (X + m) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # x + m = 24 #

Siden # n = m + x + y # og # X = y # => # n = m + 2 * x # og # M + n = m + m + 2 * x = 2 * (x + m) = 2 * 24 # => # M + n = 48 #

#S_ (trapes) = (base_1 + base_2) / 2 * høyde = (m + n) / 2 * 18 = (48 * 18) / 2 = 432 #

Merk: vi kunne prøve å bestemme m og n konjugere disse to ligningene:

I #triangle_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # AD ^ 2 = (24-m) ^ 2 + 18 ^ 2 #

I #triangle_ (ABD) -> AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cos delta # => # AD ^ 2 = m ^ 2 + 30 ^ 2-2 * m * 30 * (4/5) #

(#cos delta = 4/5 # fordi #sin delta = 18/30 = 3/5 #)

Men å løse dette systemet av to likninger, ville vi bare oppdage det m og siden AD er ubestemt.