Hvordan løser du ulikheten 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Svar:

#x <- 5/2 farge (hvit) (xx) # eller #color (hvit) (xx) -1 <x <2 #

Forklaring:

Først og fremst, merk at ujevnheten bare er definert dersom dine denominatorer ikke er lik null:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Nå, ditt neste skritt ville være å "kvitte seg" med brøkdelene. Dette kan gjøres ved å multiplisere begge sider av ulikheten med # x + 1 # og # x-2 #.

Men du må være forsiktig, siden hvis du multipliserer en ulikhet med et negativt tall, må du vende ulikhetstegnet.

=========================================

La oss vurdere de forskjellige sakene:

tilfelle 1: #color (hvit) (xxx) x> 2 #:

Både #x + 1> 0 # og #x - 2> 0 # holde. Dermed får du:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… beregne # -3x # og #+2# på begge sider…

# -2x> 5 #

… delt på #-2# på begge sider. Som #-2# er et negativt tall, må du vende ulikhetstegnet …

#x <- 5/2 #

Det er imidlertid ingen # X # som tilfredsstiller både tilstanden #x> 2 # og #x <- 5/2 #. Dermed er det ingen løsning i dette tilfellet.

=========================================

tilfelle 2: #color (hvit) (xxx) -1 <x <2 #:

Her, #x + 1> 0 # men #x - 2 <0 #. Dermed må du vende ulikhetstegnet en gang, og du får:

#color (hvit) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (hvit) (x) -2x <5 #

… delt på #-2# og vri ulikskiltet igjen …

#color (hvit) (xxx) x> -5 / 2 #

Ulikheten #x> -5 / 2 # er sant for alle # X # i intervallet # -1 <x <2 #. I dette tilfellet har vi derfor løsningen # -1 <x <2 #.

=========================================

tilfelle 3: #color (hvit) (xxx) x <-1 #:

Her er begge denominatorene negative. Dermed, hvis du multipliserer ulikheten med begge dem, må du vende ulikhetsskiltet to ganger, og du får:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (hvit) (i) -2x> 5 #

#color (hvit) (xxi) x <- 5/2 #

Som tilstanden #x <-5 / 2 # er mer restriktiv enn tilstanden #x <-1 #, løsningen for denne saken er #x <- 5/2 #.

=========================================

Totalt er løsningen

#x <- 5/2 farge (hvit) (xx) # eller #color (hvit) (xx) -1 <x <2 #

eller, hvis du foretrekker en annen notasjon,

#x i (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Svar:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Forklaring:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

la passere evig til venstre side av ulikheten ved å subtrahere # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Nå må vi, sett all ulikhet vi samme nevner. Delen med (x + 1) vi multipliserer med # (X-2) / (x-2) # (som er 1!) og vice versa:

# (X-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

Vi gjorde kunsten før, for å ha all ulikhet med samme nevner:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (X + 1) (x-2) # tilsvarer en parabola som gir positive verdier i inetervalen # -oo, -1 uu 2, + oo # og negative verdier i intervallet #-1, 2#. Husk at x ikke kan være -1 eller 2 på grunn av å gi nevner null.

I det første tilfellet (nevner positiv) kan vi forenkle inequation i:

# -2x-5> 0 # og #x i -oo, -1 uu 2, + oo #

som gir:

#X <-5/2 # og #x i -oo, -1 uu 2, + oo #.

Avbrudd av intervaller over gir #X <-5/2 #.

I andre tilfelle er nevnen negativ, slik at resultatet gir et positivt tall, må telleren være negativ:

# -2x-5 <0 # og # x i -1, 2 #

som gir

#X> -5/2 #. og # x i -1, 2 #

Avbrudd av intervaller gir # x i -1, 2 #

Sammen med løsningene i de to sakene får vi:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #