Hvordan løser du polynom ulikheten og oppgir svaret i intervallnotasjon gitt x ^ 6 + x ^ 3> = 6?

Svar:

Ulikheten er kvadratisk i form.

Forklaring:

Trinn 1: Vi krever null på den ene siden.

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #

Trinn 2: Siden venstre side består av en konstant term, et mellomtegn og et uttrykk hvis eksponent er nøyaktig det dobbelte som på mellomfristen, er denne ligningen kvadratisk "i form". Vi enten faktor det som en kvadratisk, eller vi bruker den kvadratiske formel. I dette tilfellet kan vi faktorere.

Akkurat som # y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2) #, har vi nå

(x ^ 3 - 2).

Vi behandler # X ^ 3 # som om det var en enkel variabel, y.

Hvis det er mer nyttig, kan du erstatte #y = x ^ 3 #, løse deretter for y, og til slutt erstatte tilbake til x.

Trinn 3: Sett hver faktor lik null, og løse ligningen # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = 0 #. Vi finner hvor venstre side er null fordi disse verdiene vil være grensene for vår ulikhet.

# x ^ 3 + 3 = 0 #

# x ^ 3 = -3 #

#x = -rot (3) 3 #

# x ^ 3 -2 = 0 #

# x ^ 3 = -2 #

#x = root (3) 2 #

Dette er de to virkelige røttene til ligningen.

De skiller den virkelige linjen i tre intervaller:

# (- oo, -rot (3) 3); (-rot (3) 3, rot (3) 2); og (rot (3) 2, oo) #.

Trinn 4: Bestem tegnet på venstre side av ulikheten ved hver av de ovennevnte intervaller.

Bruk av testpunkter er den vanlige metoden. Velg en verdi fra hvert intervall, og erstatt det for x i venstre side av ulikheten. Vi kan velge -2, deretter 0, og deretter 2.

Du vil oppdage at venstre side er

positiv på # (- oo, -rot (3) 3) #;

negativt på # (- root (3) 3, root (3) 2) #;

og positivt på # (root (3) 2, oo) #.

Trinn 5: Fullfør problemet.

Vi er interessert i å vite hvor # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #.

Vi vet nå hvor venstre side er 0, og vi vet hvor det er positivt. Skriv denne informasjonen i intervallform som:

# (- oo, -rot (3) 3 uu root (3) 2, oo) #.

MERK: Vi har parentes fordi de to sidene av ulikheten er like på disse punktene, og det opprinnelige problemet krever for oss å inkludere disse verdiene. Hadde problemet brukt #># i stedet for # Ge #, vi ville ha brukt parenteser.