Svar:
Poenget # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) ca. (1.26694,1.16437) # er et lokalt minimumspunkt.
Forklaring:
Førsteordens delvise derivater er # (delvis f) / (delvis x) = y-3x ^ {- 4} # og # (delvis f) / (delvis y) = x-2y ^ {- 3} #. Innstilling av disse begge lik null gir i systemet # Y = 3 / x ^ (4) # og # X = 2 / y ^ {3} #. Subtituting den første ligningen i den andre gir # X = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Siden #x! = 0 # i domenet til # F #, dette resulterer i # X ^ {11} = 27/2 # og # X = (27/2) ^ {1/11} # så det # Y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
De andre ordenspartielle derivatene er # (delvis ^ {2} f) / (delvis x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (partial ^ {2} f) / (partial y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, og # (delvis ^ {2} f) / (delvis x delvis y) = (delvis ^ {2} f) / (delvis y delvis x) = 1 #.
Diskriminanten er derfor # D = (delvis ^ {2} f) / (delvis x ^ {2}) * (delvis ^ {2} f) / (delvis y ^ {2}) - ((partial ^ {2} f) / delvis x delvis y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Dette er positivt på det kritiske punktet.
Siden de rene (ikke-blandede) andre-ordinære partielle derivater er også positive, følger det at det kritiske punktet er et lokalt minimum.
