Hva er extrema- og sadelpunktene til f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Svar:

Saddle peker på opprinnelsen.

Forklaring:

Vi har:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

Og så danner vi de delvise derivatene. Husk når du delger differensielt at vi skiller mellom den aktuelle variabelen mens du behandler de andre variablene som konstant. Og så:

# (delvis f) / (delvis x) = 2xy-y ^ 2 # og # (delvis f) / (delvis y) = x ^ 2-2yx #

På ekstreme eller sadelpunkter har vi:

# (delvis f) / (delvis x) = 0 # og # (delvis f) / (delvis y) = 0 # samtidig:

dvs. en samtidig løsning av:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Derfor er det bare ett kritisk punkt ved opprinnelsen #(0,0)#. For å fastslå karakteren til det kritiske punktet, er analytikere av den multi-variable Taylor-serien påkrevet og følgende testresultater:

# Delta = (partial ^ 2 f) / (partial x ^ 2) (partial ^ 2 f) / (partial y ^ 2) - {(partial ^ 2 f) / (partial x partial y)} ^ 2 <0 => # sadelpunkt

Så vi beregner de andre partielle derivatene:

# (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2) = 2y #;# (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2) = -2x # og # (partial ^ 2 f) / (partial x partial y) = 2x-2y #

Og så når # x = 0, y = 0 # vi får:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Hvilket betyr at standard saddeltesten er inkluderende og videre analyse er nødvendig. (Dette vil typisk innebære å se på tegnene på funksjonen på tvers av ulike skiver, eller se på den tredje partielle avledetesten som ligger utenfor omfanget av dette spørsmålet!).

Vi kan også se på 3D-plottet og trekke en rask konklusjon om at det kritiske punktet ser ut til å svare til et sadelpunkt: