Hva er extrema- og sadelpunktene til f (x, y) = xy (1-x-y)?

Svar:

Poengene #(0,0),(1,0)#, og #(0,1)# er sadelpunkter. Poenget #(1/3,1/3)# er et lokalt maksimumspunkt.

Forklaring:

Vi kan utvide # F # til #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Deretter finner du de partielle derivatene og setter dem lik null.

# frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { partial f} { partial y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Helt klart, # (X, y) = (0,0), (1,0), # og #(0,1)# er løsninger på dette systemet, og det er også kritiske punkter i # F #. Den andre løsningen finnes fra systemet # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Løsning av den første ligningen for # Y # i form av # X # gir # Y = 1-2x #, som kan kobles til den andre ligningen for å få # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Fra dette, # Y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # også.

For å teste arten av disse kritiske punktene finner vi andre derivater:

# frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y #, # frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x #, og # frac { partial ^ {2} f} { delvis x delvis y} = frac { partial ^ {2} f} { delvis y delvis x} = 1-2x-2y #.

Diskriminanten er derfor:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Plugging de tre første kritiske punktene gir:

# D (0,0) = - 1 <0 #, # D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, og # D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, noe som gjør disse poengene sadelpunkter.

Plugging i siste kritiske punkt gir # D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Legg også merke til det # frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} (1/3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Derfor, #(1/3,1/3)# er en lokalisering av en lokal maksimumsverdi på # F #. Du kan kontrollere at den lokale maksimale verdien selv er #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Nedenfor er et bilde av konturkartet (av nivåkurver) på # F # (kurvene hvor produksjonen av # F # er konstant), sammen med de 4 kritiske punktene til # F #.