Hvordan finner du de eksakte verdiene til cos 2pi / 5?

Svar:

#cos (2 pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #

Forklaring:

Her den mest elegante løsningen jeg fant i:

math.stackexchange.com/questions/7695/how-to-prove-cos-frac2-pi-5-frac-1-sqrt54

#cos (4pi / 5) = cos (2 pi-4pi / 5) = cos (6pi / 5) #

Så hvis # x = 2pi / 5 #:

#cos (2x) = cos (3x) #

Bytte cos (2x) og cos (3x) med deres generelle formler:

#color (rød) (cos (2x) = 2cos ^ 2x-1 og cos (3x) = 4cos ^ 3x-3cosx) #, vi får:

# 2cos ^ 2x-1 = 4cos ^ 3x-3cosx #

Erstatte # Cosx # av # Y #:

# 4y ^ 3-2y ^ 2-3y-1 = 0 #

# (Y-1) (4y ^ 2 + 2y-1) = 0 #

Vi vet det #Y! = 1 #, så vi må løse den kvadratiske delen:

#Y = (- 2 + -sqrt (2 ^ 2-4 * 4 * (- 1))) / (2 * 4) #

#Y = (- 2 + -sqrt (20)) / 8 #

siden #Y> 0 #, # Y = cos (2 pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #