Hva er variansen i standard normalfordeling?

Svar:

Se nedenfor. Standarden normal er den normale oppsettet slik at #mu, sigma = 0,1 # så vi vet resultatene på forhånd.

Forklaring:

PDF-filen for standardstandarden er: #mathbb P (z) = 1 / sqrt (2 pi) e ^ (- z ^ 2/2) #

Den har gjennomsnittlig verdi:

# mu = int _ (-oo) ^ (oo) dz z mathbb P (z) = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz ze ^ (- z ^ 2/2) #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) d (- e ^ (- z ^ 2/2)) #

# = 1 / sqrt (2 pi) e ^ (- z ^ 2/2) _ (oo) ^ (- oo) = 0 #

Det følger at:

# Var (z) = int _ (- oo) ^ (oo) dz (z - mu) ^ 2 mathbb P (z) #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz z ^ 2 e ^ (- z ^ 2/2) #

Denne gangen bruker du IBP:

# Var (z) = - 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) d (e ^ (- z ^ 2/2)) z #

# = - 1 / sqrt (2 pi) (ze ^ (- z ^ 2/2) _ _ - - oo) ^ (oo) - int _ (- oo) ^ (oo) dz e ^ ^ 2/2)) #

# = - 1 / sqrt (2 pi) (ze ^ (- z ^ 2/2) _ _ - - oo) ^ (oo) - int _ (- oo) ^ (oo) dz e ^ ^ 2/2)) #

Fordi # z e ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) = 0 #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz e ^ (- z ^ 2/2) #

Denne integral er velkjent. Det kan gjøres ved hjelp av en polar del, men her er resultatet oppgitt.

# Var (z) = 1 / sqrt (2 pi) sqrt (2 pi) = 1 #